G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Completezza
3.15. Esempio. Siano k ≥ 0 intero e p ∈ [1, +∞) . Consideriamo lo spazio C ∞ c (R d ) munito
della norma � · �k,p dello spazio di Sobolev (precisamente la norma indotta). Otteniamo uno spazio
non completo. Un suo completamento, quello “naturale” visto che C ∞ c (R d ) ⊂ W k,p (R d ) , è l’intero
spazio di Sobolev W k,p (R d ) . Si dimostra infatti che
C ∞ c (R d ) è denso in W k,p (R d ) per k ≥ 0 e 1 ≤ p < +∞ (3.5)
ma la dimostrazione non è immediata.
3.16. Esempio. Spendiamo due parole sull’analoga costruzione quando R d sia sostituito da un
suo aperto Ω generico: il problema è dunque quello della chiusura di C ∞ c (Ω) in W k,p (Ω) . Se
k = 0 ricadiamo nell’Esempio 3.9 e il completamento è L p (Ω) = W 0,p (Ω) . Se invece k > 0 , non
otteniamo W k,p (Ω) ma un suo sottospazio chiuso proprio. Si pone
W k,p
0 (Ω) è la chiusura di C ∞ c (Ω) in W k,p (Ω) e H k 0 (Ω) = W k,2
0 (Ω). (3.6)
Se Ω è un aperto limitato che verifica qualche condizione di regolarità, si può dimostrare quanto
segue: se v ∈ W k,p (Ω) ∩ C k−1 (Ω) , allora v ∈ W k,p
0 (Ω) se e solo se D α v|∂Ω = 0 per |α| ≤ k − 1 .
Ad esempio, se v ∈ W 1,p (Ω) ∩ C 0 (Ω) , allora v ∈ W 1,p
0 (Ω) se e solo se v|∂Ω = 0 .
3.17. Esercizio. Si combinino la densità di C ∞ c (R) in W 1,p (R) per p ∈ [1, +∞) con
l’Esercizio 1.7 (con V = W 1,p (R) , W = C 0 b (R) e V0 = C ∞ c (R) e ipotizzando l’esistenza di
uno spazio Z adatto allo scopo) e si dimostri che W 1,p (R) è immerso con continuità nello spazio
C0 b (R) delle funzioni continue e limitate e che vale la formula fondamentale del calcolo
� b
a
v ′ (x) dx = v(b) − v(a) per ogni v ∈ W 1,p (R) e a, b ∈ R
ove v ′ è la derivata debole di v . Il caso p = 1 è il più facile; il caso 1 < p < +∞ offre qualche
difficoltà tecnica nella dimostrazione della continuità dell’immersione di V0 in W .
3.18. Esercizio. Si deduca dall’esercizio precedente che, se 1 < p < +∞ , ogni elemento di
W 1,p (R) è una funzione hölderiana di esponente di Hölder α = 1/p ′ ∈ (0, 1) e si dia una stima della
corrispondente costante di Hölder. Si costruisca una funzione v ∈ W 1,1 (R) che non è hölderiana
per nessun α ∈ (0, 1) .
3.19. Esempio (spazi di Sobolev, seconda versione). Siano Ω un aperto di Rd intero e p ∈ [1, +∞) . Poniamo
, k ≥ 0
C k,p (Ω) = {v ∈ C ∞ (Ω) : D α v ∈ L p (Ω) per |α| ≤ k } e
� �
�
�v�k,p = |D α v| p �1/p dx .
Questo spazio non è completo e il suo completamento si denota con H k,p (Ω) . Se non conoscessimo
gli spazi di Sobolev W k,p (Ω) e volessimo costruire un completamento potremmo procedere
in varie direzioni, e una è la seguente. Consideriamo l’applicazione di C k,p (Ω) in L p (Ω) N che a
ogni v associa la N -upla {D α v} delle derivate di ordine ≤ k (ordinate in qualche modo), ove N
è il numero di tali derivate. Otteniamo un isomorfismo isometrico di C k,p (Ω) su un sottospazio
non chiuso di L p (Ω) N , precisamente quello costituito dalle N -uple {uα} tali che u0 ∈ C ∞ (Ω)
e uα = D α u0 per |α| ≤ k . Un completamento si ottiene allora chiudendo tale sottospazio nello
spazio ambiente L p (Ω) N , che è completo.
Utilizzando invece gli spazi di Sobolev W k,p (Ω) si ottiene un completamento molto più concreto.
Infatti C k,p (Ω) appare come un sottospazio dello spazio completo W k,p (Ω) e il completamento
“naturale” si ottiene ponendo: H k,p (Ω) è la chiusura di C k,p (Ω) in W k,p (Ω) . Se
u ∈ H k,p (Ω) , esiste dunque una successione {un} di elementi di C k,p (Ω) convergente a u
Analisi Funzionale
|α|≤k
Ω
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