G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 2
tale affermazione sviluppando la traccia seguente. Fissati la funzione u ∈ C 0 [0, 1] e ε > 0 , si
prolunghi u a una funzione w ∈ C 0 (−1, 2) a supporto compatto. Si regolarizzi w (imitando
quanto è stato suggerito per la (3.3)) ottenendo wε ∈ C ∞ c (−1, 2) tale che �w − wε�∞ ≤ ε , ove la
norma è intesa relativamente all’intervallo [−1, 2] . Si sviluppi il prolungamento 3 -periodico di wε
in serie di Fourier rispetto al sistema {e 2πni(x+1)/3 }n∈Z (ottenuto adeguando il sistema standard
alla situazione) e si applichi la teoria classica per dedurre che la serie converge uniformemente in R
a wε . Detta s n ε la ridotta n -esima, si scelga n tale che �s n ε − wε�∞ ≤ ε , ove ora la norma è
intesa relativamente all’intervallo [0, 1] . Si sviluppi s n ε in serie di Taylor. Si controlli che la serie
converge uniformemente in ogni intervallo limitato e come polinomio Pε si prenda una ridotta tale
che �Pε − s n ε �∞ ≤ ε . Si concluda che la restrizione uε = Pε| [0,1] verifica �uε − u�∞ ≤ 3ε .
3.7. Esercizio. Si determini la chiusura in C 0 [0, 1] , rispetto alla norma del massimo, del sottospazio
costituito dalle funzioni v ∈ C ∞ [0, 1] verificanti v(0) = v(1) e v ′ (1) = 0 .
3.8. Esempio. Sia V = C 0 [0, 1] munito della norma � · �2 come descritto nell’Esempio I.3.18.
Nemmeno questo spazio è completo. In questo caso, però, a differenza di quanto avveniva negli
esempi precedenti, non abbiamo a disposizione uno spazio completo di cui V sia sottospazio e
non possiamo procedere per chiusure. Un completamento � V , cioè, è uno spazio nuovo e V resta
immerso in � V solo se si effettua un’identificazione. Come � V prendiamo L 2 (0, 1) con l’usuale
norma � · �2 e vediamo V non come sottospazio denso ma come spazio isometricamente isomorfo
a un sottospazio denso. L’applicazione lineare isometrica I : V → � V si ottiene come segue: per
v ∈ V denotiamo con Iv la classe di funzioni misurabili che ha v come rappresentante. Allora I
è un’isometria e I(V ) è denso (si veda l’esempio successivo) in � V . Fatta questa operazione, poi,
si interpreta I come identificazione e si scrive comunemente C 0 [0, 1] ⊂ L 2 (0, 1) .
3.9. Esempio. Siano Ω un aperto limitato di R d e p ∈ [1, +∞] . Consideriamo lo spazio
C ∞ c (Ω) (vedi Definizione I.5.50) costituito dalle funzioni v di classe C ∞ in Ω a supporto compatto.
Se consideriamo la norma � · �p non otteniamo uno spazio completo e la struttura del
completamento è essenzialmente diversa nei due casi p < +∞ e p = +∞ . Nel primo caso come
completamento possiamo prendere L p (Ω) , e abbiamo una situazione analoga a quella dell’esempio
precedente: ogni v ∈ C ∞ c (Ω) viene identificata alla classe di funzioni misurabili che la contiene. Il
fatto che L p (Ω) sia un completamento equivale allora all’affermazione:
C ∞ c (Ω) è denso in L p (Ω) per 1 ≤ p < +∞ . (3.4)
Ciò è vero per ogni aperto Ω di R d , limitato o meno, e può essere dimostrato in vari modi. Noi lo
dimostreremo successivamente utilizzando il Teorema di Hahn-Banach. Nel caso p = +∞ abbiamo
invece uno spazio ambiente già pronto, lo spazio C 0 (Ω) , e il completamento richiesto è la chiusura
in tale spazio. Si può dimostrare che questa è costituita dalle funzioni continue nulle al bordo,
ovvero uniformemente continue e infinitesime nei punti del bordo.
3.10. Esercizio. Per p ∈ [1, +∞] , si determini la chiusura in L p (0, 1) del sottospazio costituito
dalle funzioni v ∈ C ∞ [0, 1] verificanti v(0) = v(1) e v ′ (1) = 0 .
3.11. Esercizio. Sia V lo spazio delle successioni x = {xn} di elementi di K che si annullano a
partire da un certo indice (variabile con la successione considerata). Si prenda la norma �x� = �x�p
con p ∈ [1, +∞] fissato. Si determini un completamento.
3.12. Esercizio. Si determini la chiusura di ℓ 1 in ℓ ∞ .
3.13. Esercizio. Si dimostri ricorrendo a metodi elementari che, se µ(Ω) < +∞ , lo spazio
L ∞ (Ω) è incluso e denso in L p (Ω) per ogni p ≥ 1 . Per ogni u ∈ L p (Ω) si costruisca esplicitamente
una successione {un} costituita da funzioni limitate convergente a u nella norma � · �p .
3.14. Esercizio. Sia p ∈ [1, +∞] e sia V lo spazio delle successioni x = {xn} di elementi di
K tali che {nxn} ∈ ℓ p . Si trovi: i) una norma che rende V completo; ii) un completamento di
V rispetto all’usuale norma di ℓ p .
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Gianni Gilardi