G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 2
3. Completamenti di spazi metrici, normati, prehilbertiani
Siccome la completezza è importante, è bene possedere un risultato generale di completamento.
Il teorema che segue comprende i tre casi degli spazi metrici, degli spazi normati, degli spazi
prehilbertiani.
3.1. Definizione. Un completamento di uno spazio metrico è uno spazio metrico completo che
contiene un sottoinsieme denso che è isometrico allo spazio dato. Un completamento di uno spazio
normato è uno spazio di Banach che contiene un sottospazio denso che è isometricamente isomorfo
allo spazio dato.
3.2. Teorema. Ogni spazio metrico (rispettivamente normato) ha almeno un completamento e
due completamenti qualunque sono isometrici (rispettivamente, isometricamente isomorfi). Inoltre
ogni completamento di uno spazio prehilbertiano è uno spazio di Hilbert.
Dimostrazione. Iniziamo dal caso degli spazi metrici. In vista del caso degli spazi normati, usiamo
già la notazione usuale V per denotare lo spazio, anche se V non possiede alcuna struttura vettoriale.
Naturalmente d denota la metrica. L’idea è la seguente. Se V è proprio un sottoinsieme denso di � V e
quest’ultimo è completo, gli elementi di �x ∈ � V sono limiti di successioni {xn} di elementi di V , cioè di
successioni di Cauchy in V , e, viceversa, ogni successione di Cauchy in V converge in � V . Inoltre due
di tali successioni, diciamo {xn} e {yn} , convergono allo stesso punto di � V se e solo se la successione
{d(xn, yn)} delle distanze è infinitesima. Dunque gli elementi di � V sono biunivocamente associati alle
classi di equivalenza di successioni di Cauchy in V , l’equivalenza essendo quella delle distanze infinitesime.
Realizziamo ora questa idea a partire dal generico spazio metrico (V, d) , senza ovviamente ipotizzare già
l’esistenza di un completamento.
Denotiamo con C l’insieme di tutte le successioni di Cauchy in V e, per {xn}, {yn} ∈ C , diciamo che
{xn} ∼ {yn} quando la successione {d(xn, yn)} delle distanze è infinitesima. Si vede immediatamente che
∼ è una relazione di equivalenza in C . Poniamo allora � V = C/∼ . Definiamo ora una metrica � d in � V
come segue:
�d(�x, �y) = lim
n→∞ d(xn, yn) se �x, �y ∈ � V , {xn} ∈ �x e {yn} ∈ �y. (3.1)
Dobbiamo verificare che: i) il limite limn→∞ d(xn, yn) esiste finito; ii) esso dipende solo da �x e �y e non
dalle successioni di Cauchy che rappresentano tali classi. Visto ciò, la (3.1) è ben definita e potremo procedere
nella dimostrazione. Osserviamo una volta per tutte che |d(x, y) − d(x ′ , y ′ )| ≤ d(x, x ′ ) + d(y, y ′ )
per ogni quaterna di punti di V , come si vede facilmente. Con le notazioni della (3.1) si ha allora
|d(xn, yn) − d(xm, ym)| ≤ d(xn, xm) + d(yn, ym) . Siccome {xn}, {yn} appartengono a C , segue subito
che la successione reale {d(xn, yn)} è di Cauchy, dunque convergente. Passando a ii) , siano {x ′ n} e {y ′ n}
altri due rappresentanti di �x e di �y rispettivamente. Allora |d(x ′ n, y ′ n) − d(xn, yn)| ≤ d(x ′ n, xn) + d(y ′ n, yn)
e il secondo membro è infinitesimo per definizione. Ciò prova ii) .
Controllare che � d sia una metrica in � V non è difficile, per cui passiamo al punto successivo: esiste
un’isometria I di (V, d) in ( � V , � d) . Questa si costruisce facilmente: se x ∈ V denotiamo con Ix la classe
di equivalenza della successione {xn} definita da xn = x per ogni n . Si verifica banalmente che I è
un’isometria e ora mostriamo che I(V ) è denso in � V . A questo scopo osserviamo che
se �x ∈ � V e {xn} ∈ �x allora {Ixn} converge a �x in � V . (3.2)
Infatti, se si prendono rappresentanti ovvi di �x e di Ixn , si vede subito che � d(�x, Ixn) = limk→∞ d(xk, xn) .
Segue allora che limn→∞ � d(�x, Ixn) = 0 esplicitando il fatto che {xn} è una successione di Cauchy in V .
In particolare I(V ) è denso in � V . Passiamo all’ultimo punto: la completezza di ( � V , � d) . Sia dunque {�xn}
una successione di Cauchy in tale spazio. Per la (3.2) possiamo trovare una successione {xn} di elementi
di V tale che � d(�xn, Ixn) ≤ 1/n per ogni n . Siccome I è un’isometria e {�xn} è una successione di Cauchy
in � V , segue facilmente che {xn} è una successione di Cauchy in V . Denotiamo allora con �x la classe di
{xn} e dimostriamo che {�xn} converge a �x in � V . Ma ciò segue subito dalle disuguaglianze
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�d(�xn, �x) ≤ � d(�xn, Ixn) + � d(Ixn, �x) ≤ 1/n + � d(Ixn, �x)
Gianni Gilardi