G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 2
associa la N -upla delle derivate D α v di ordine ≤ k . Allora L è un isomorfismo isometrico di C k (Ω)
sull’immagine di L , che chiamiamo W , se nel prodotto C 0 (Ω) N si sceglie la norma
�{uα}� = max
|α|≤k �uα�∞
che è equivalente a quella standard. Siccome il prodotto è completo rispetto a tale norma grazie al Corollario
2.2 e alla parte del Teorema 1.6 relativa appunto al prodotto, basta dimostrare che W è chiuso nel
prodotto. Ora W si caratterizza come segue
W = {{uα} ∈ C 0 (Ω) N : uα = D α u0 per 0 < |α| ≤ k }
ove u0 = u (0,...,0) . Sia dunque {{u (n)
α }} una successione di elementi di W convergente a {uα} in C 0 (Ω) N .
Allora
u (n)
α → uα uniformemente in Ω per |α| ≤ k .
Concludiamo che u0 ∈ C k (Ω) e che uα = D α u0 per 0 < |α| ≤ k , cioè che {uα} ∈ W .
La completezza di C k,α (Ω) si dimostra in modo perfettamente analogo non appena si sia dimostrata
quella di C 0,α (Ω) . Dimostriamo che quest’ultimo spazio è completo ancora controllando che esso è isometricamente
isomorfo a un sottospazio chiuso di uno spazio completo. A tale scopo introduciamo il sottoinsieme
Ω • di Ω 2 costituito dalle coppie (x, y) tali che x �= y e lo spazio C 0 (Ω) × B(Ω • ) prodotto dello spazio
delle funzioni uniformemente continue in Ω e di quello delle funzioni limitate in Ω • , prodotto che sappiamo
già essere uno spazio di Banach. Definiamo poi l’applicazione L : C 0,α (Ω) → C 0 (Ω) × B(Ω • ) mediante
Lv = (v, �v) per v ∈ C 0,α (Ω) ove �v(x, y) =
v(x) − v(y)
|x − y| α , (x, y) ∈ Ω • .
Pur di cambiare, come sopra, la norma dello spazio prodotto in una equivalente, vediamo che L è un
isomorfismo isometrico di C 0,α (Ω) su un sottospazio W del prodotto, precisamente quello definito dalla
formula
W = {(v, v • ) ∈ C 0 (Ω) × B(Ω • ) : v • (x, y) = (v(x) − v(y))/|x − y| α per ogni (x, y) ∈ Ω • }.
Ancora basta dunque dimostrare che W è chiuso nel prodotto. Supponiamo dunque che la successione
{(vn, v • n)} di elementi di W converga a (v, v • ) nello spazio prodotto. Allora {vn} e {v • n} convergono a v
e a v • uniformemente in Ω e in Ω • rispettivamente. Ma la convergenza uniforme implica quella puntuale.
Dunque dall’uguaglianza v • n(x, y) = (vn(x) − vn(y))/|x − y| α valida per ogni (x, y) ∈ Ω • e per ogni n
deduciamo l’analoga per la coppia limite e concludiamo che essa appartiene a W .
2.8. Esempio. Muniamo lo spazio C1 [a, b] della norma data da �v� = �v�1 + �v ′ �∞ . Ci
chiediamo se si ottiene uno spazio di Banach. La risposta è affermativa dato che tale norma è
equivalente a quella naturale come ora mostriamo. Una disuguaglianza si verifica banalmente in
quanto �v� ≤ (b − a)�v�∞ + �v ′ �∞ per ogni v . Per trovare una disuguaglianza nella direzione
opposta osserviamo che, per ogni v ∈ C1 [a, b] e x, y ∈ [a, b] , risulta
� x
v(x) = v(y) +
Integrando rispetto a y deduciamo che
y
v ′ (t) dt da cui |v(x)| ≤ |v(y)| + (b − a)�v ′ �∞ .
(b − a)|v(x)| ≤ �v�1 + (b − a) 2 �v ′ �∞ da cui �v�∞ ≤ (b − a) −1 �v�1 + (b − a)�v ′ �∞
e quindi anche la disuguaglianza che ci interessa.
2.9. Esercizio. Usare la completezza di C 1 [a, b] rispetto alla norma dell’esempio precedente
per dimostrare che, se {vn} è una successione di elementi di C 1 [a, b] verificante vn → v in
L 1 (a, b) e v ′ n → w in C 0 [a, b] , allora v è (q.o. uguale a una funzione) di classe C 1 e w = v ′ .
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Gianni Gilardi