G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Completezza
2.2. Corollario. Siano X uno spazio topologico, K uno spazio topologico compatto e Ω un
aperto limitato di R d . Allora gli spazi Cb(X) , C(K) e C 0 (Ω) sono spazi di Banach rispetto alle
norme del massimo.
2.3. Esercizio. Sia ϕ : R → R continua e strettamente positiva e sia V lo spazio vettoriale
delle funzioni v : R → R tali che ϕv sia limitata. Si dimostri che V è uno spazio di Banach
ripetto alla norma �v� = sup(ϕ|v|) verificando che esso è isometricamente isomorfo a uno spazio
di Banach già noto.
2.4. Teorema. Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito. Allora L p (Ω) è uno spazio di
Banach per ogni p ∈ [1, +∞] e L 2 (Ω) è uno spazio di Hilbert. In particolare ℓ p è uno spazio di
Banach per ogni p ∈ [1, +∞] e ℓ 2 è uno spazio di Hilbert.
Dimostrazione. Basta dimostrare la completezza. Utilizziamo il Teorema 1.2 considerando dapprima
il caso p < +∞ . Sia dunque {un} una successione di elementi di L p (Ω) tale che la serie � ∞
n=1 �un�p
converga a una somma λ finita: dobbiamo dimostrare che la serie di funzioni � ∞
n=1 un converge in L p (Ω) .
Supponiamo dapprima che ogni un sia una funzione reale non negativa. Posto wn = � n
k=1 uk , abbiamo
per ogni n
�wn�p ≤
n�
�uk�p ≤ λ cioè
k=1
�
w
Ω
p n dµ ≤ λ p .
Siccome la successione {w p n} è non decrescente, grazie al Teorema di Beppo Levi essa converge q.o. a una
funzione ϕ integrabile e non negativa. Poniamo u = ϕ 1/p e controlliamo che u è la somma richiesta della
serie di funzioni di partenza. Innanzi tutto u è misurabile e u p = ϕ è integrabile, cioè u ∈ L p (Ω) . D’altra
parte w p n → ϕ e w p n ≤ ϕ q.o. Segue wn → u in L p (Ω) per la seconda parte dell’Osservazione I.5.24.
Questo mostra che � ∞
n=1 un = u nel senso di L p (Ω) .
Consideriamo ora il caso in cui le funzioni un siano reali di segno qualunque. Essendo u ± n ≤ |un| , si
vede subito che le due successioni {u ± n } verificano le ipotesi della prima parte della dimostrazione. Dunque
le serie � ∞
n=1 u± n convergono in L p (Ω) a certe somme u± ∈ L p (Ω) . Allora la funzione u = u+ − u− è
la somma della serie di funzioni nel senso di L p (Ω) , come subito si verifica. Ciò completa la dimostrazione
nel caso reale. Se poi K = C , resta da considerare il caso in cui le funzioni un assumano generici valori
complessi. Ma le successioni delle parti reali e immaginarie rientrano nei casi già considerati e si riesce a
concludere facilmente.
Consideriamo infine il caso p = +∞ e denotiamo ancora con un un rappresentante fissato definito in
tutti i punti. Per ogni n esiste un sottoinsieme di misura nulla Sn tale che sup x∈Ω\Sn |un(x)| = �un�∞ .
Ma se poniamo S = � ∞
n=1 Sn , anche S ha misura nulla e risulta sup x∈Ω\S |un(x)| ≤ �un�∞ per ogni n .
Possiamo allora applicare il Teorema 2.1 con X = Ω \ S e concludere che la serie � ∞
n=1 un converge
uniformemente in Ω \ S . La somma, allora, è una funzione definita q.o. in Ω , misurabile e limitata e si
riconosce immediatamente che essa è la somma della serie data nel senso di L ∞ (Ω) .
2.5. Esercizio. Riprendere l’Esercizio I.5.26 e ridimostrare che lo spazio V0 là definito è chiuso
usando la completezza di ℓ p .
2.6. Esercizio. Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito. Si dimostri che il sottoinsieme
delle funzioni caratteristiche, cioè delle (classi di) funzioni che assumono (q.o.) solo i valori 0
e 1 , è chiuso in L 1 (Ω) . Si deduca che è uno spazio metrico completo la coppia (F•, d) che ora
costruiamo. Nella famiglia F ⊆ M dei sottoinsiemi di misura finita si introduca la relazione di
equivalenza ∼ dicendo che A ∼ B quando µ(A \ B) = µ(B \ A) = 0 . Si ponga F• = F/ ∼ e,
per A•, B• ∈ F• , si definisca d(A•, B•) = µ(A \ B) + µ(B \ A) se A ∈ A• e B ∈ B• . Si controlli
che effettivamente ∼ è una relazione di equivalenza e che la funzione d : F• × F• → R è una ben
definita (cioè non dipende dai rappresentanti) metrica che rende F• completo.
2.7. Teorema. Gli spazi C k (Ω) e C k,α (Ω) degli Esempi I.5.38 e I.5.46 sono spazi di Banach.
Dimostrazione. Dimostriamo che C k (Ω) è isometricamente isomorfo a uno spazio completo. Sia A
l’insieme dei multi-indici α tali che |α| ≤ k . Ordiniamo A in un modo qualunque e denotiamo con N
il numero dei suoi elementi. Consideriamo l’applicazione L : C k (Ω) → C 0 (Ω) N che a ogni v ∈ C k (Ω)
Analisi Funzionale
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