G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 2
Vedremo più tardi che la completezza si conserva anche tramite isomorfismi non necessariamente
isometrici. Ora presentiamo altri due risultati di carattere generale.
1.4. Teorema. Ogni spazio normato V di dimensione finita n è completo e isomorfo a K n .
Dimostrazione. I due spazi sono algebricamente isomorfi e, se L è un isomorfismo algebrico, esso è anche
isometrico se la norma considerata in K n è proprio quella trasportata dall’isomorfismo stesso. Ma ciò implica
la completezza di V , data la completezza di K n che ora vediamo. Scelta in K n la norma che si ritiene più
conveniente (vale il Teorema I.3.20), si vede che la condizione data dal Teorema 1.2 coincide con il Criterio
della convergenza assoluta per le serie di vettori euclidei.
Siccome un sottoinsieme di un qualunque spazio metrico che sia completo rispetto alla metrica
indotta è sempre un chiuso per il Teorema A.1.25, deduciamo immediatamente il risultato
successivo, già annunciato nel Capitolo 1.
1.5. Corollario. Siano V è uno spazio normato e V0 un suo sottospazio di dimensione finita.
Allora V0 è chiuso.
1.6. Teorema. Con le ipotesi e le notazioni del Teorema I.6.1, supponiamo che V e W siano
completi. Allora il sottospazio V0 del punto i) è completo se e solo se V0 è un sottoinsieme chiuso
di V . Inoltre i sottospazi definiti nelle formule (I.6.6) e (I.6.7) sono chiusi e gli spazi introdotti ai
punti ii) . . . v) sono completi.
Dimostrazione. Il primo punto segue dalla teoria generale degli spazi metrici (Teorema A.1.25). Consideriamo
lo spazio prodotto. Chiaramente una successione {(vn, wn)} converge a (v, w) se e solo se le
due successioni {vn} e {wn} convergono a v e a w in V e in W rispettivamente. Inoltre quella è di
Cauchy nel prodotto se e solo se queste ultime sono di Cauchy nei rispettivi spazi. Dunque la completezza
del prodotto segue immediatamente.
Passiamo al caso del quoziente e usiamo il Teorema 1.2. Supponiamo dunque xn ∈ V• e convergente la
serie � ∞
n=1 �xn�• . Per ogni n esiste vn ∈ xn tale che �vn�V ≤ �xn�• + 2 −n . Allora la serie � ∞
n=1 �vn�V
converge. Siccome V è completo, converge in V la serie di vettori �∞ n=1 vn . Sia v la sua somma e sia x
la classe di v . Allora si vede immediatamente che la serie �∞ n=1 xn converge a x nel quoziente.
Per quanto riguarda gli altri punti da dimostrare, basta controllare che è chiuso il sottospazio D definito
nella formula (I.6.6) e ribadire che è chiuso anche lo spazio Z0 della (I.6.7), fatto che era già stato controllato
nella dimostrazione stessa del Teorema I.6.1. Infatti ciò garantisce anche la completezza degli spazi
intersezione e somma, visto quanto abbiamo già dimostrato. La verifica che D è chiuso è perfettamente
analoga a quella relativa a Z0 : basta infatti usare allo stesso modo il fatto che le immersioni di V e W in
Z sono continue e che Z è separato.
1.7. Esercizio. Siano V, W spazi di Banach e Z uno spazio vettoriale topologico. Si supponga
V ⊆ Z e W ⊆ Z con immersioni continue. Sia poi V0 un sottospazio denso di V e si supponga
V0 ⊆ W con immersione continua. Si dimostri che V ⊆ W con immersione continua. Si consiglia
di ricordare la caratterizzazione data dal Corollario I.4.13.
2. Alcuni spazi di Banach e di Hilbert importanti
Dimostriamo la completezza degli spazi funzionali introdotti nel Paragrafo I.5. Il primo risultato
riguarda lo spazio delle funzioni limitate dell’Esempio I.5.2. Grazie alla prima affermazione del
Teorema 1.6 e al fatto che le isometrie conservano la completezza, segue la completezza, che dunque
solo enunciamo, degli spazi Cb(X) , C(K) e C 0 (Ω) degli Esempi I.5.3, I.5.4 e I.5.5.
2.1. Teorema. Sia X un insieme non vuoto. Allora lo spazio B(X) delle funzioni v : X → K
limitate è uno spazio di Banach rispetto alla norma della convergenza uniforme.
Dimostrazione. Usiamo il Teorema 1.2. Sia dunque {vn} una successione di elementi di B(X) tale che
la serie delle norme converga. Allora siamo nelle condizioni di applicare il noto Criterio di Weierstrass e
concludere che la serie � ∞
n=1 vn converge uniformemente a una funzione limitata. Pertanto la serie converge
a un elemento di B(X) nel senso della metrica considerata.
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Gianni Gilardi