G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Introduzione
Un normale corso di Analisi Funzionale non può che vertere su argomenti scelti. Inoltre il
docente può privilegiare l’aspetto teorico e massimizzare il numero dei temi trattati e dei risultati
dimostrati oppure limitare questa gamma a favore di qualche applicazione significativa. Queste
pagine, ispirate inizialmente al corso tenuto dall’autore nell’anno accademico 2007/08 e successivamente
riviste e arricchite, seguono la seconda delle due direzioni prospettate e riguardano argomenti
scelti della teoria degli spazi di Banach, di Hilbert e vettoriali topologici che possono costituire il
materiale per un primo corso. Prima di tutto presentiamo le nozioni fondamentali su spazi normati
e prehilbertiani, completezza e operatori lineari e diamo le basi della teoria degli spazi di Hilbert.
Successivamente trattiamo il Teorema di Hahn-Banach, nelle sue forme analitiche e geometriche,
e ne diamo parecchie applicazioni. Ciò ci induce ad abbozzare l’inizio di altrettante teorie. Dopo un
breve capitolo dedicato ai punti salienti della teoria degli spazi riflessivi introduciamo altri teoremi
fondamentali che fanno capo ancora a Banach, quali il Teorema di Banach-Steinhaus e il Teorema di
Banach-Schauder dell’applicazione aperta, anche in questo caso con applicazioni significative. Terminiamo
con qualche nozione sugli spazi localmente convessi, con particolare riguardo alle topologie
deboli degli spazi normati e agli spazi funzionali più importanti.
Come si vede, abbiamo rinunciato a parlare di alcuni argomenti, anche molto importanti, come
quella di spettro di un operatore, a favore di qualche applicazione concreta. Un particolare riguardo,
ad esempio, è stato riservato alle questioni di compattezza, ai problemi di minimo e all’introduzione
degli spazi funzionali di uso corrente. Il testo contiene infine numerosi esercizi.
Ora qualche informazione di carattere generale che riteniamo opportuno dare subito.
Nel seguito trattiamo di spazi vettoriali reali o complessi. Se non viene specificato nulla al
riguardo, resta inteso che lo spazio da considerare è indifferentemente reale o complesso. In tal caso
K denota il campo degli scalari che, dunque, è indifferentemente R o C .
Il simbolo segnala la fine di una definizione, o dell’enunciato di un teorema, eccetera, oppure
la fine di una dimostrazione. Lo stesso simbolo è poi usato in generale per meglio evidenziare la
fine di una unità logica e staccare tale unità dal discorso successivo.
Per dare un minimo di autosufficienza a queste pagine, riuniamo nell’appendice vari richiami
su spazi topologici e teoria della misura e dell’integrazione, nonché un breve paragrafo sul Lemma
di Zorn. Naturalmente questa appendice non pretende di essere in alcun modo esaustiva.
Nel corso dei vari capitoli i paragrafi vengono numerati progressivamente all’interno di ogni
capitolo, mentre teoremi, lemmi, corollari, osservazioni, definizioni, esempi, esercizi vengono numerati
progressivamente e senza distinzione di tipo all’interno di ogni paragrafo. Il contrassegno
dei paragrafi è un numero p e il contrassegno di teoremi (o lemmi, eccetera) del Paragrafo p ha la
forma p . n , ove n è il numero progressivo del teorema (o lemma, eccetera). Per quanto riguarda
le formule, vale una regola analoga che differisce dalla precedente solo per l’aggiunta di una coppia
di parentesi tonde. La citazione del Paragrafo p o del Teorema p . n (o lemma, eccetera) o della
formula (p . n) è testuale se questa avviene nel corso dello stesso capitolo. Nel caso di citazioni da
altri capitoli o dall’Appendice usiamo rispettivamente le scritture N. p , N. p . n e (N. p . n) ove
N è il numero romano maiuscolo del capitolo o il simbolo A di Appendice.
Infine ringrazio gli studenti che mi hanno segnalato errori e refusi delle versioni precedenti.
G. Gilardi