G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 2
Completezza
Molti dei risultati importanti in Analisi Funzionale, anche se non tutti, si basano sulla completezza
e a questa dedichiamo il capitolo.
1. Completezza, spazi di Banach e di Hilbert
Ricordiamo che uno spazio metrico è completo quando ogni sua successione di Cauchy converge.
Siccome ogni spazio normato o prehilbertiano ha una struttura metrica indotta, ha senso chiedersi
se uno spazio normato o prehilbertiano sia completo o meno.
1.1. Definizione. Uno spazio di Banach è uno spazio normato che è completo rispetto alla
metrica indotta dalla norma. Uno spazio di Hilbert è uno spazio di Banach prehilbertiano.
Nel caso degli spazi normati la completezza può essere controllata anche non ricorrendo alla
condizione di Cauchy, come mostra il risultato che segue (che in parte si può far risalire a Banach),
nel quale si fa giocare la struttura vettoriale soggiacente. Naturalmente è inteso che
la somma di una serie è il limite della successione delle ridotte (1.1)
per definizione, come per le serie più elementari.
1.2. Teorema. Uno spazio normato V è completo se e solo se vale la condizione seguente: per
ogni successione {xn} di elementi di V vale l’implicazione
se la serie numerica � ∞
n=1 �xn� converge, allora la serie � ∞
n=1 xn converge in V . (1.2)
Dimostrazione.
�
Supponiamo V completo. Sia {xn} una successione di elementi di V tale che serie
∞
n=1�xn� converga. Poniamo sn = �n k=1 xk e λn = �n k=1�xk� per n ≥ 1 . Siccome la successione {λn}
converge, essa è di Cauchy. D’altra parte, per ogni m, n tali che m < n , risulta
�sn − sm� =
�
�
�
n�
k=m+1
xk
�
�
� ≤
n�
k=m+1
�xk� = λn − λm
e deduciamo che {sn} è di Cauchy in V , dunque convergente in V per la completezza.
Viceversa supponiamo che valga la (1.2) e dimostriamo che V è completo. Sia {xn} una successione
di Cauchy in V . Sia n1 ≥ 1 tale che �xn − xm� ≤ 2 −1 per ogni m, n ≥ n1 . Sia ora n2 > n1 tale che
�xn − xm� ≤ 2 −2 per ogni m, n ≥ n2 . Procedendo ricorsivamente, costriamo una successione strettamente
crescente {nk} di indici tale che, per ogni k e ogni m, n ≥ nk , risulti �xn − xm� ≤ 2−k . In particolare
�xnk+1 − xnk� ≤ 2−k per ogni k così che la serie �∞ �xnk+1 k=1 − xnk� converge. Applicata l’ipotesi (1.2)
alla successione {xnk+1 − xnk } , deduciamo che la serie �∞ (xnk+1 k=1 − xnk ) converge in V , dunque che
converge in V la successione {xnk } . Detto x il suo limite, dimostriamo che la successione data converge
a x . Fissato ε > 0 ad arbitrio, sia m0 tale che �xn − xm� ≤ ε per ogni m, n ≥ m0 . Fissiamo ora k tale
che nk ≥ m0 e �xnk − x� ≤ ε . Per ogni n ≥ m0 abbiamo �xn − x� ≤ �xn − xnk� + �xnk − x� ≤ 2ε .
I due fatti seguenti sono del tutto evidenti, ma conviene osservarli una volta per tutte. Ricordiamo
che la nozione di equivalenza è stata data nella Definizione I.3.19.
1.3. Proposizione. Se due spazi normati sono isometricamente isomorfi, la completezza di uno
dei due implica quella dell’altro. Se due norme in uno stesso spazio vettoriale sono equivalenti
allora la completezza rispetto a una di esse implica la completezza rispetto all’altra.