G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Norme e prodotti scalari
del prodotto, un’altra scelta possibile è �(v, w)� = max{�v�V , �w�W } = |(�v�V , �w�W )| ∞ , ove
|x|∞ è la “norma infinito” in R 2 . Questa, poi, è equivalente all’altra grazie al Teorema 3.20.
In generale sono effettivamente norme in V × W tutte quelle costruite con una formula del tipo
�(v, w)� = |(�v�V , �w�W )| ove | · | è una norma in R 2 che verifica la proprietà seguente: da
0 ≤ xi ≤ yi per i = 1, 2 segue |x| ≤ |y| . Tutte queste norme, poi, sono fra loro equivalenti.
Naturalmente, però, non vi è motivo perché esse siano indotte da prodotti scalari, anche nel caso
in cui le norme originarie in V e W siano prehilbertiane. Infine, è ovvio che la costruzione degli
spazi prodotto, intersezione e somma si estende senza difficoltà alcuna al caso di un numero finito
qualunque di spazi.
6.5. Osservazione. Le norme definite dal Teorema 6.1 inducono nei vari spazi considerati esattamente
le topologie che ognuno si aspetta. Ad esempio, nel caso i) , la topologia indotta è la
topologia di V0 come sottospazio topologico dello spazio topologico V e, nel caso ii) , si ottiene
la topologia prodotto delle due topologie di V e di W indotte dalle rispettive norme.
6.6. Esercizio. Approfondire l’osservazione precedente.
6.7. Corollario. Ogni spazio normato è uno spazio vettoriale topologico.
Dimostrazione. Dobbiamo verificare che le operazioni della struttura vettoriale definite sugli spazi
prodotto adeguati sono continue. Siccome gli spazi prodotto sono essi stessi normati, possiamo procedere
per successioni. Supponiamo che (xn, yn) → (x, y) nello spazio normato V × V . Allora xn → x e yn → y
in V . Essendo �(xn + yn) − (x + y)� ≤ �xn − x� + �yn − y� , si deduce subito che xn + yn → x + y in V .
Se poi (λn, xn) → (λ, x) in K × V , abbiamo che λn → λ in K e che xn → x in V . D’altra parte si ha
�λnxn − λx� ≤ �λnxn − λnx� + �λnx − λx� = |λn| �xn − x� + |λn − λ| �x�
e la successione {λn} è limitata. Dunque λnxn → λx in V .
6.8. Osservazione. Per quanto riguarda il linguaggio vale un commento analogo a quello
dell’Osservazione 3.7, dato che la frase corretta sarebbe: se (V, � · �) è uno spazio normato, la
topologia indotta dalla norma rende V spazio vettoriale topologico. Infatti due norme equivalenti
darebbero lo stesso spazio vettoriale topologico anche se diverse.
6.9. Osservazione. Torniamo all’enunciato del Teorema 6.1, alcuni punti del quale richiedono
l’esistenza di uno spazio vettoriale topologico nel quale gli spazi considerati sono inclusi con immersione
continua. Nei casi concreti si riesce sempre a costruire un tale spazio. Ad esempio, se Ω è un
aperto di Rd , si può munire lo spazio C0 (Ω) delle funzioni v : Ω → K continue di una topologia
che lo rende spazio vettoriale topologico in modo che tutti gli spazi di funzioni regolari considerati
negli esempi che abbiamo riportato siano inclusi in esso con immersione continua. Considerazioni
analoghe valgono per lo spazio L 1 loc
(Ω) delle funzioni misurabili che risultino integrabili su tutti
i compatti inclusi in Ω : ognuno degli L p (Ω) vi viene immerso con continuità. Tuttavia queste
topologie verranno introdotte molto più avanti, quando parleremo di spazi localmente convessi.
Analisi Funzionale
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