G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
definita dalla formula f(x) = (x, x) . Essa è un isomorfismo algebrico di V ∩ W sul sottospazio D definito
in (6.6), che è la diagonale del prodotto cartesiano. D’altra parte, se denotiamo con � · �V ×W la norma data
dal punto ii) , abbiamo che �x� = �f(x)�V ×W per ogni x ∈ V ∩ W . Dunque anche � · � è una norma e
questa rende V ∩ W e D isometricamente isomorfi.
Per quanto riguarda v) , procediamo analogamente. Ora lo spazio da considerare è V• = (V × W )/Z0
ove Z0 è il sottospazio definito nella (6.7). Per ora V• è solo uno spazio vettoriale. Ma immaginiamo
per un attimo di aver controllato che Z0 è chiuso. Allora possiamo considerare lo spazio normato V• e
definire g : V + W → V• mediante la formula: g(x) = (v, w) + Z0 (cioè la classe di (v, w) ) se v + w = x .
Questa applicazione è ben definita in quanto, se anche v ′ + w ′ = x , si ha (v ′ − v) + (w ′ − w) = 0 ,
cioè (v ′ , w ′ ) − (v, w) ∈ Z0 , per cui (v ′ , w ′ ) + Z0 = (v, w) + Z0 . Inoltre g è un isomorfismo algebrico e, per
ogni x ∈ V + W , abbiamo
�x� = inf{(�v� 2 V + �w� 2 W ) 1/2 : v + w = x} = inf{(�v� 2 V + �w� 2 W ) 1/2 : (v, w) ∈ g(x)} = �g(x)�• .
Dunque anche � · � è una norma e tale norma rende V + W e V• isometricamente isomorfi. Rimane allora
da dimostrare che Z0 è chiuso. Supponiamo che una successione {(vn, wn)} di elementi di Z0 converga a
(v, w) ∈ V × W . Allora vn → v e wn → w in V e in W rispettivamente. Siccome le due immersioni di
V e di W in Z sono continue, abbiamo che vn → v e wn → w in Z . Siccome Z è vettoriale topologico,
deduciamo che vn + wn → v + w in Z . Ma vn + wn = 0 per ogni n , per cui abbiamo anche vn + wn → 0 .
D’altra parte il limite in Z è unico dato che Z è separato. Dunque v + w = 0 , cioè (v, w) ∈ Z0 .
Supponiamo infine che le norme � · �V e � · �W siano indotte da prodotti scalari. Allora è chiaro come
costruire prodotti scalari nei casi i) , ii) e iv) . Ad esempio, nel caso ii) , basta prendere
� (v1, w1), (v2, w2) � = (v1, v2)V + (w1, w2)W
con notazioni ovvie. Per quanto riguarda i punti restanti, vista la dimostrazione relativa a v) e l’ultima
affermazione dell’Osservazione 3.13, basta considerare iii) , per il quale verifichiamo la regola del parallelogrammo,
controllando che valgono le due disuguaglianze ≤ e ≥ . Siano dunque x, y ∈ V• . Sia poi ε > 0
ad arbitrio. Allora esistono u ∈ x e v ∈ y tali che �u� 2 V ≤ �x�2 • +ε e �v� 2 V ≤ �y�2 • +ε . Allora u±v ∈ x±y
e abbiamo
�x + y� 2 • + �x − y� 2 • ≤ �u + v� 2 V + �u − v� 2 V = 2�u� 2 V + 2�v� 2 V ≤ 2�x� 2 • + 2�y� 2 • + 4ε .
Dall’arbitriarietà di ε deduciamo una delle due disuguaglianze. Per dimostrare quella opposta, fissiamo
ancora ε > 0 ad arbitrio. Allora esistono u ∈ x + y e v ∈ x − y tali che �u� 2 V ≤ �x + y�2 • + ε e
�v� 2 V ≤ �x − y�2 • + ε . Ma (u + v)/2 ∈ x . Infatti, fissati ξ0 ∈ x e η0 ∈ y , risulta u = ξ0 + η0 + u0 e
v = ξ0 − η0 + v0 per certi u0, v0 ∈ V0 , da cui (u + v)/2 = ξ0 + (u0 + v0)/2 ∈ x . Analogamente si vede che
(u − v)/2 ∈ y . Segue allora
2�x� 2 • + 2�y� 2 • ≤ 2�(u + v)/2� 2 V + 2�(u − v)/2� 2 V = �u� 2 V + �v� 2 V ≤ �x + y� 2 • + �x − y� 2 • + 2ε
e ancora concludiamo grazie all’arbitrarietà di ε .
6.2. Definizione. Nelle condizioni del teorema precedente, gli spazi di cui ai punti i) . . . v)
vengono detti rispettivamente sottospazio, spazio prodotto, spazio quoziente, spazio intersezione e
spazio somma degli spazi di partenza.
6.3. Esercizio. Nelle ipotesi e con le notazioni della Definizione 6.1, dimostrare che sono continue
le immersioni o proiezioni canoniche seguenti
i) v ↦→ (v, 0) da V in V × W e (v, w) ↦→ v da V × W in V ;
ii) v ↦→ classe di v da V in V/V0 ;
iii) v ↦→ v da V ∩ W in V e v ↦→ v da V in V + W .
6.4. Osservazione. Come traspare dalla dimostrazione della Teorema 6.1, la scelta della norma
negli spazi prodotto, intersezione e quoziente può essere fatta in altri modi. Ad esempio, nel caso
32
Gianni Gilardi