G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

6. Alcune costruzioni canoniche
Norme e prodotti scalari
In questo paragrafo mostriamo come si possano costruire spazi normati (o prehilbertiani) a partire
da spazi normati (o prehilbertiani) già assegnati. Merita un commento preliminare il caso dello
spazio intersezione. Se V e W sono due spazi normati, non è in generale interessante considerare
la loro intersezione insiemistica. Infatti, siccome gli elementi dei due spazi possono essere oggetti di
natura diversa (si pensi ad esempio al caso degli spazi R e R 2 ), l’intersezione potrebbe essere vuota.
Occorre allora considerare solo il caso in cui i due spazi da intersecare siano sottospazi vettoriali di
uno stesso spazio vettoriale Z più grande. In tale circostanza l’intersezione insiemistica costituisce
un sottospazio vettoriale di Z .
Per semplicità, nell’enunciato che segue, imponiamo sistematicamente che tutti gli spazi che
supponiamo immersi in uno spazio vettoriale topologico siano immersi con continuità, anche se tale
ipotesi, di fatto, non sempre sarà sfruttata. Vedremo invece che essa è importante in ogni caso
quando discuteremo la completezza degli spazi qui introdotti.
6.1. Teorema. Siano (V, � · �V ) e (W, � · �W ) due spazi normati. Allora si ha che
i) se V0 è un sottospazio vettoriale di V , la restrizione di � · �V a V0 è una norma in V0; (6.1)
ii) la formula �(v, w)� = (�v� 2 V + �w� 2 W ) 1/2 definisce una norma in V × W ; (6.2)
iii) se V0 è un sottospazio vettoriale di V chiuso in V e V• = V/V0, allora
la formula �x�• = inf{�v�V : v ∈ x} = dist(0, x) definisce una norma in V• . (6.3)
Se poi V e W sono immersi con continuità nello stesso spazio vettoriale topologico Z , allora si
ha anche che
iv) la formula �x� = (�x� 2 V + �x�2 W )1/2 definisce una norma in V ∩ W ; (6.4)
v) la formula �x� = inf{(�v� 2 V + �w�2 W )1/2 : v + w = x} definisce una norma in V + W . (6.5)
Più precisamente, la norma definita in (6.4) rende V ∩ W isometricamente isomorfo al sottospazio
del prodotto V × W
D = {(v, w) ∈ V × W : v = w} (6.6)
e la norma definita in (6.5) rende V + W isometricamente isomorfo al quoziente (V × W )/Z0 , ove
Z0 è il sottospazio chiuso di V × W definito da
Z0 = {(v, w) ∈ V × W : v + w = 0}. (6.7)
Infine tutti gli spazi normati così costruiti sono prehilbertiani se tali sono gli spazi V e W .
Dimostrazione. Il primo punto è ovvio. Per quanto riguarda il secondo, l’unica proprietà la cui dimostrazione
richiede qualche considerazione è la subadditività della norma. A questo proposito basta osservare
che �(v, w)� è la norma euclidea del vettore (�v�V , �w�W ) di R 2 . Se (v, w) e (v ′ , w ′ ) sono due elementi
di V × W e se | · | denota la norma euclidea in R 2 , abbiamo pertanto
�(v, w) + (v ′ , w ′ )� = �(v + v ′ , w + w ′ )� = � � � �v + v ′ �V , �w + w ′ ��
�W � ≤ � � � �v�V + �v ′ �V , �w�W + �w ′ ��
�W �
� � ′
+ �v �V , �w ′ �� �� �W
� + � ′
�v �V , �w ′ ��
�W � ′ ′
= �(v, w)� + �(v , w )�.
= � � � �v�V , �w�W
�� � ≤ � � � �v�V , �w�W
Passiamo al punto iii) , che merita una dimostrazione solo per quanto riguarda il fatto che la norma si
annulli solo in 0 . Ora, nel quoziente, 0 significa il sottospazio V0 . Supponiamo dunque �x�• = 0 . Allora,
per definizione di estremo inferiore, esiste una successione {vn} di elementi di x tale che {�vn�V } sia
infinitesima. Allora {vn} tende a 0 in V . D’altra parte, siccome V0 è chiuso, sono chiusi tutti i suoi
traslati, in particolare x . Dunque, da vn ∈ x per ogni n deduciamo 0 ∈ x , cioè x = V0 .
Passiamo ai punti iv) e v) e trattiamoli tenendo conto dell’Osservazione 3.13. Ciò dimostrerà anche
le affermazioni dell’enunciato sugli isomorfismi isometrici. Consideriamo l’applicazione f : V ∩ W → V × W
Analisi Funzionale
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