G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
esempio che mostra che quando p = d = 2 una funzione di W 1,p (Ω) può non essere limitata.
Si prenda come Ω il disco di R 2 avente centro nell’origine e raggio r = 1/2 . Allora la formula
u(x) = |ln |x|| α , ove α > 0 , definisce u(x) per q.o. x ∈ Ω (precisamente per x ∈ Ω \ {0} ), ma
la funzione u non appartiene a L ∞ (Ω) . Mostriamo che u ∈ H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω) se α < 1/2 .
Innanzi tutto u ∈ L 2 (Ω) . Osservato che ln |x| < 0 in Ω \ {0} dato che r < 1 , u è di classe
C ∞ in tale insieme e si ha ∇u(x) = −α|ln |x|| α−1 |x| −1 (x/|x|) . Verifichiamo che |∇u| ∈ L 2 (Ω)
appunto se α < 1/2 . Passando prima a coordinate polari e poi usando il cambiamento di variabile
ρ = exp(−t) , essendo 2α − 2 < −1 , otteniamo
�
|∇u(x)|
Ω
2 dx = α 2
�
|ln |x||
Ω
2α−2 � 1/2
dx
2α−2 ρ dρ
= 2πα2 | ln ρ|
|x| 2
0
ρ2 � +∞
= 2πα2 t
ln 2
2α−2 dt < +∞.
Verifichiamo che tale gradiente è gradiente anche in senso debole (Osservazione 5.57), cioè che
�
�
∇u · v dx = − u div v dx per ogni v ∈ C∞ c (Ω) 2 .
Ω
Ω
Sia dunque v ∈ C∞ c (Ω) 2 . Posto Ωε = {x ∈ Ω : |x| > ε} e Γε = {x ∈ Ω : |x| = ε} , si ha
�
Ω
�
∇u · v dx = lim
ε→0
Ωε
�
∇u · v dx = − lim
ε→0
Ωε
�
u div v dx + lim
ε→0
Γε
�
u v · n ds = −
Ω
u div v dx
in quanto il modulo dell’integrale su Γε si maggiora con 2πε| ln ε| α sup |v| e dunque è infinitesimo.
Quindi u ∈ H 1 (Ω) .
Si può addirittura dimostrare che, non appena kp ≤ d con la sola esclusione di qualche
caso particolare riguardante i tre parametri k, p, d , esistono funzioni di W k,p (Ω) che non sono
essenzialmente limitate in alcun aperto non vuoto incluso in Ω , e di ciò daremo un cenno più tardi.
Pertanto le funzioni di W k,p (Ω) possono essere molto irregolari. Ciò nonostante gli spazi di Sobolev
funzionano benissimo, meglio degli spazi C k (Ω) , specialmente se p = 2 (caso prehilbertiano),
o almeno se 1 < p < +∞ , come vedremo in seguito.
5.72. Esempio (spazi di Sobolev con esponente reale). Sia Ω un aperto di Rd (limitato
e regolare se vogliamo garantire tutto ciò che diciamo). Per p ∈ [1, +∞) , denotiamo per comodità
con L p
× lo spazio Lp (Ω × Ω) costruito su Ω × Ω rispetto alla misura µ definita da
�
dx dy
µ(E) =
|x − y| d (finita o meno) per ogni E ⊆ Ω × Ω misurabile secondo Lebesgue
Ω×Ω
e denotiamo con � · �p,× la norma usuale in tale spazio. Sia ora σ ∈ (0, 1) . Per v ∈ Lp (Ω)
costruiamo rσv : Ω × Ω → K (rapporto incrementale di ordine σ ) mediante la formula
v(x) − v(y)
(rσv)(x, y) =
|x − y| σ per q.o. (x, y) ∈ Ω × Ω
e definiamo W σ,p (Ω) e la seminorma |v|σ,p e la norma �v�σ,p di ogni v ∈ W σ,p (Ω) mediante
W σ,p (Ω) = {v ∈ L p (Ω) : rσv ∈ L p
× }, |v|σ,p = �rσv�p,× e �v� p σ,p = �v� p p + |v| p σ,p . (5.58)
Otteniamo uno spazio normato, prehilbertiano se p = 2 . Sia ora s > 0 non intero. Decomposto
s nella forma s = k + σ con k ≥ 0 intero e σ ∈ (0, 1) , poniamo
W s,p (Ω) = {v ∈ W k,p (Ω) : D α v ∈ W σ,p (Ω) per |α| = k} (5.59)
�v� p s,p = �v� p
�
k,p + |D
|α|=k
α v| p σ,p per v ∈ W s,p (Ω). (5.60)
Ancora otteniamo uno spazio normato, prehilbertiano se p = 2 . Esplicitando la norma abbiamo
�v� p s,p = �
�
|D α v| p dx + �
�
|Dαv(x) − Dαv(y)| p
|x − y| σp
dx dy
.
|x − y| d
|α|≤k
Ω
|α|=k
Questi spazi sono detti anche spazi di Slobodeckiĭ e la loro (strana) costruzione è fatta in modo che
W k+1,p (Ω) ⊂ W s2,p (Ω) ⊂ W s1,p (Ω) ⊂ W k,p (Ω) se k < s1 < s2 < k + 1 .
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Ω×Ω
Gianni Gilardi