G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

asta scegliere M = �
Norme e prodotti scalari
K |u| dx e k = 0 , così che fu ∈ D ′ (Ω) . Inoltre l’applicazione u ↦→ fu da
L 1 loc (Ω) in D′ (Ω) così costruita è iniettiva per il Lemma 5.53. Identificando allora il funzionale fu
con la funzione u che lo definisce, abbiamo
�
L 1 loc (Ω) ⊆ D′ (Ω) e 〈u, v〉 =
uv dx per u ∈ L
Ω
1 loc (Ω) e v ∈ C∞ c (Ω) . (5.55)
In particolare L p (Ω) ⊆ L 1 loc (Ω) ⊆ D′ (Ω) per ogni p ∈ [1, +∞] . ii) Non introduciamo la topologia
che rende D ′ (Ω) spazio vettoriale topologico ma almeno la convergenza:
fn → f in D ′ (Ω) se e solo se lim
n→∞ 〈fn, v〉 = 〈f, v〉 per ogni v ∈ C ∞ c (Ω) . (5.56)
Allora è un esercizio dimostrare che un → 0 in L p (Ω) implica un → 0 in D ′ (Ω) , dove, come si è
detto, un denota anche la distribuzione associata a un . Dunque l’immersione di L p (Ω) in D ′ (Ω)
è continua (cfr. (4.2)). iii) Siano f ∈ D ′ (Ω) e α un multi-indice. Allora la derivata D α f di f è
il funzionale, che si verifica immediatamente essere ancora una distribuzione, definito dalla formula
〈D α f, v〉 = (−1) |α| 〈f, D α v〉 per ogni v ∈ C ∞ c (Ω) (5.57)
(e l’operatore D α : D ′ (Ω) → D ′ (Ω) che a ogni f ∈ D ′ (Ω) associa D α f è continuo per successioni,
come si verifica banalmente). Ma torniamo agli spazi di Sobolev. In particolare, se u ∈ L p (Ω) , si
ha u ∈ D ′ (Ω) e tutte le derivate D α u sono dei ben definiti elementi di D ′ (Ω) (in particolare una
funzione costante a tratti ha senz’altro derivata nel senso delle distribuzioni, ma non certo nulla).
Dunque ha senso chiedersi se alcune di esse appartengano a L p (Ω) e la (5.41) ha senso.
5.67. Esercizio. Ricavare dalla (5.57) la definizione di derivata parziale Dif della distribuzione
f rispetto alla i -esima variabile.
5.68. Esercizio. Imitando la definizione di Dif ottenuta nell’esercizio precedente, si dia la
definizione di derivata direzionale Drf di f nella direzione del versore r = (r1, . . . , rd) ∈ R d e si
dimostri che, senza alcuna ipotesi aggiuntiva, vale la formula Drf = � d
i=1 ri Dif .
5.69. Esercizio. Iterando la definizione di derivata parziale data dall’Esercizio 5.67, si dimostri
che, per ogni distribuzione f e per ogni i, j , vale automaticamente il Teorema di Schwarz:
DiDjf = DjDif . Si controlli inoltre che tali derivate coincidono con la derivata data dalla (5.57)
con α = ei + ej . In particolare risulta chiaro che, per un generico multi-indice α , la derivata D α f
si può ottenere iterando la derivazione parziale e che la derivata ottenuta non dipende dall’ordine
di esecuzione delle derivazioni del prim’ordine.
5.70. Osservazione. Nella definizione di W k,p (Ω) abbiamo supposto 1 ≤ p < +∞ , ma si
può definire, esattamente nello stesso modo, lo spazio W k,∞ (Ω) . Tuttavia questo spazio è molto
meno interessante. Infatti, se k ≥ 1 e Ω è limitato e verifica opportune condizioni di regolarità
(che possono dipendere da k ), avviene che W k,∞ (Ω) è isomorfo allo spazio C k−1,1 (Ω) delle funzioni
lipschitziane con le loro derivate fino all’ordine k − 1 . Precisamente ogni funzione di questo tipo
individua una classe di funzioni misurabili che appartiene a W k,∞ (Ω) e, viceversa, ogni elemento di
tale spazio ha un rappresentante appartenente a C k−1,1 (Ω) . Inoltre, per funzioni di questo tipo, le
nozioni di derivata debole e quella di derivata q.o. coincidono. Ricadiamo dunque, sostanzialmente,
in uno spazio di tipo classico. Ribadiamo però: ciò se Ω ha qualche regolarità. Infatti la funzione
costruita nell’Osservazione 5.43 appartiene a W 1,∞ (Ω) ma non è lipschitziana.
5.71. Osservazione. Al contrario, se p < +∞ , in generale W k,p (Ω) non è uno spazio di
funzioni regolari, anche se Ω è regolarissimo. Se si può dimostrare che ogni elemento di W 1,1 (Ω)
ha un rappresentante continuo quando Ω è un intervallo di R (Esercizio 5.63), si può altrettanto
dimostrare (Teorema di Sobolev) che, se d > 1 , perché ogni elemento di W 1,p (Ω) abbia un
rappresentante continuo è necessario e sufficiente che sia p > d . Qui ci limitiamo a un semplice
Analisi Funzionale
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