G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
Allora ogni un è continua e non decrescente, verifica un(0) = 0 e un(1) = 1 e ha grafico simmetrico
rispetto a (1/2, 1/2) . Proviamo che �un+1 − un�∞ ≤ (1/6)2 −n per ogni n . Se n = 0 basta
il calcolo diretto. Per induzione, sia n ≥ 0 e la disuguaglianza valga. Allora, per x ∈ [0, 1/3] , abbiamo
|un+2(x) − un+1(x)| = (1/2)|un+1(x) − un(x)| ≤ (1/6)2 −(n+1) . D’altra parte, banalmente, si
ha un+2(x)−un+1(x) = 0 per x ∈ [1/3, 1/2] . Siccome tutte le un hanno grafico simmetrico come
detto, concludiamo che �un+2 −un+1�∞ ≤ (1/6)2 −(n+1) . Deduciamo che la serie � ∞
n=0 (un+1 −un)
converge uniformemente, dunque che converge uniformemente a una certa funzione u : [0, 1] → R
la successione {un} . Allora u è continua e monotona e verifica u(0) = 0 e u(1) = 1 . Controlliamo
che u è differenziabile con derivata nulla in un aperto Ω ′ ⊂ (0, 1) avente complementare di misura
nulla. Se si disegna il grafico di un per i primi valori di n , si vede subito che, per n ≥ 1 , valgono
i fatti seguenti: i) se un è costante in un intervallo aperto I ⊂ (0, 1) allora un+1 = un in I , da
cui u = un in I ; ii) gli intervalli aperti massimali in cui un+1 è costante e un non lo è sono
2 n−1 e hanno tutti ampiezza 3 −n . Allora, detto Ωn l’aperto unione di tali intervalli, si ha u = un
in Ωn , da cui u ′ = 0 in Ωn . Sia Ω ′ l’aperto unione di tutti gli Ωn : allora u|Ω ′ è (infinitamente)
differenziabile con derivata nulla. Verifichiamo che il complementare di Ω ′ ha misura nulla. Infatti,
siccome gli Ωn sono fra loro disgiunti, se denotiamo con | · | la misura di Lebesgue, abbiamo
|Ω ′ | =
∞�
|Ωn| =
n=1
∞�
n=1
2 n−1 3 −n = 3 −1
∞�
(2/3) n = 1.
Supponiamo ora che u abbia derivata debole w ∈ L 1 loc (0, 1) . Allora la restrizione di w a Ω′ e la
funzione nulla svolgono lo stesso ruolo (si prenda v ∈ C ∞ c (Ω ′ ) . . . ) e quindi w = 0 q.o. in Ω ′ . Di
conseguenza w = 0 q.o. in (0, 1) . Per la (5.52), concludiamo che u è costante, il che non è.
Segnaliamo che l’insieme C = (0, 1) \ Ω ′ è il ben noto insieme di Cantor e che la funzione u
costruita è detta funzione di Vitali (da taluni è chiamata anche scala del diavolo).
A complemento, verifichiamo che u è hölderiana. A questo scopo basta trovare α ∈ (0, 1) e
M ≥ 0 tale che |un(x) − un(y)| ≤ M|x − y| α per ogni x, y ∈ [0, 1] e ogni n . Se n = 0 , la
disuguaglianza vale per ogni α ∈ (0, 1) e M ≥ 1 . Per induzione su n , se la disuguaglianza vale
per n , si ha per x, y ∈ [0, 1/3] : |un+1(x) − un+1(y)| ≤ (M/2)|3x − 3y| α = (M/2)3 α |x − y| α ,
e tale disuguaglianza si estende poi facilmente a ogni x, y ∈ [0, 1] . Dunque imponiamo anche
(M/2)3 α ≤ M . Le restrizioni su M e α sono entrambe banalmente soddisfatte se M = 1 e
3 α = 2 , cioè α = ln 2/ ln 3 . Si può poi dimostrare che i valori trovati di M e di α sono ottimali.
5.66. Distribuzioni. Poco sopra si è nominata la Teoria delle distribuzioni e ora diciamo due
parole senza pretese. Le distribuzioni su Ω sono gli elementi di un opportuno sottospazio di
Hom(C ∞ c (Ω); K) che viene denotato con D ′ (Ω) e che ha una struttura di spazio vettoriale topologico.
Ecco una possibile definizione. Un funzionale f ∈ Hom(C ∞ c (Ω); K) è una distribuzione
quando verifica la proprietà seguente: per ogni compatto K ⊂ Ω esistono una costante M ≥ 0 e
un intero k ≥ 0 tali che
|〈f, v〉| ≤ M �
�D α v�∞ per ogni v ∈ C∞ c (Ω) nulla in Ω \ K (5.54)
|α|≤k
ove 〈f, v〉 denota il valore di f in v . Valgono i fatti seguenti: i) L p (Ω) ⊂ D ′ (Ω) (l’immersione
essendo il frutto di un’opportuna identificazione); ii) tale immersione è continua; iii) per ogni
u ∈ D ′ (Ω) e ogni multi-indice α si definisce un elemento Dαu ∈ D ′ (Ω) da chiamare derivata di u
di ordine α . Diamo un cenno sui punti segnalati. i) Per u ∈ L1 loc (Ω) consideriamo il funzionale
fu ∈ Hom(C∞ c (Ω); K) definito dalla formula
�
〈fu, v〉 = uv dx per v ∈ C∞ c (Ω)
Ω
osservando che la definizione ha senso in quanto l’integrale è, di fatto, esteso a un compatto tutte
le volte che v è fissata. Si vede subito che, fissato il compatto K ⊂ Ω , per soddisfare la (5.54),
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n=0
Gianni Gilardi