G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

5.60. Osservazione. Lo spazio W p
Norme e prodotti scalari
(Ω) è utile, ad esempio, nella discussione di svariati pro-
div
blemi legati alle equazioni di Maxwell, specialmente nel caso p = 2 . Segnaliamo che in letteratura
si trova più spesso la notazione H(div; Ω) in sostituzione di W 2 div (Ω) .
5.61. Esercizio. Sia Ω il quadrato (0, 1) 2 e si denoti con (x, y) la variabile in Ω . Si dimostri
che, se ϕ, ψ appartengono a L p (0, 1) , allora la funzione u data dalla formula u(x, y) =
(ϕ(y), ψ(x)) appartiene allo spazio (5.50) controllando che la divergenza è nulla (cioè w = 0 verifica
la (5.48)). Si noti che si sta parlando di divergenza senza nominare la matrice jacobiana, che
infatti può non esistere se ϕ e ψ non sono più regolari di tanto, come nel caso di funzioni a scala.
5.62. Osservazione. Le derivate deboli (e più in generale le versioni deboli di vari operatori,
come quelli introdotti nell’Osservazione 5.57) godono di buone proprietà, talora molto simili a quelle
del caso classico, e qui ne mettiamo in evidenza una:
se Ω è connesso, u ∈ L1 loc (Ω) e ∇u = 0 , allora u è costante. (5.52)
Diamo la dimostrazione nel caso monodimensionale in cui Ω è un intervallo aperto, limitato o
meno. Fissiamo v0 ∈ C∞ c (Ω) tale che �
Ω v0 dx = 1 , poniamo c = �
Ω uv0 dx e dimostriamo che
u = c q.o. in Ω . Per ogni v ∈ C∞ c (Ω) , definiamo I ∈ K e w : Ω → K (dipendenti da v ) mediante
�
I =
Ω
� x
v dx e w(x) = (v(t) − I v0(t)) dt per x ∈ Ω
a
ove a è il primo estremo di Ω . Allora w ∈ C ∞ c (Ω) (il lettore controlli con cura) e v = Iv0 + w ′ .
Essendo �
Ω uw′ dx = 0 per definizione di u ′ = 0 , deduciamo
�
Ω
� �
uv dx = I uv0 dx +
Ω
Ω
uw ′ �
dx = Ic =
Ω
cv dx.
Essendo v ∈ C ∞ c (Ω) arbitraria, la tesi segue applicando il Lemma 5.53 a u − c .
5.63. Esercizio. Dimostrare che, se u ∈ L1 loc (R) ha derivata debole u′ ∈ L1 loc (R) , allora u differisce
(nel senso dell’uguaglianza q.o.) per una costante dalla funzione integrale w(x) = � x
0 u′ (t) dt ,
x ∈ R , della sua derivata. In particolare u ha un rappresentante continuo. Si consiglia l’uso del
Teorema A.2.36 di Fubini-Tonelli e della (5.52). Generalizzare al caso di un intervallo (anziché R ).
5.64. Osservazione. Poco sopra abbiamo affermato senza dimostrazione che una funzione a
scala su un intervallo non ha derivata debole (se non generalizzando nell’ambito della teoria delle
distribuzioni). Una dimostrazione è data dall’esercizio precedente. Un’altra, che si riferisce al caso
di un intervallo campione e a un solo punto di salto, è data di seguito. Precisamente dimostriamo che
la funzione u : (−1, 1) → R definita da u(x) = 0 se x < 0 e u(x) = 1 se x > 0
non ha derivata debole. (5.53)
Infatti, se esistesse una funzione w ∈ L1 loc (−1, 1) verificante la condizione (5.40), avremmo subito
� 1
−1 wv dx = − � 1
−1 uv′ dx = − � 1
0 v′ dx = v(0) per ogni v ∈ C∞ c (−1, 1) , contro il Corollario 5.55.
5.65. Esempio (funzione di Vitali). Meno facile è trovare una funzione continua priva di
derivata debole. Ne costruiamo una, addirittura hölderiana. Definiamo la successione di funzioni
un : [0, 1] → R ponendo u0(x) = x per x ∈ [0, 1] e richiedendo, per ogni n ≥ 0 , le condizioni:
Analisi Funzionale
un+1(x) = 1
2 un(3x) se x ∈ [0, 1/3], un+1(x) = 1
2
un+1(x) = 1 − un+1(1 − x) per ogni x ∈ [0, 1].
se x ∈ [1/3, 1/2]
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