G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
gradiente, divergenza e laplaciano deboli, per cui resta giustificato l’uso dei simboli consueti. In
generale, tuttavia, l’esistena di gradiente, divergenza e laplaciano deboli non è affatto garantita,
mentre la loro unicità discende sempre dal lemma 5.53.
Se u ∈ L 1 loc (Ω) , il gradiente in senso debole di u è una funzione w ∈ L1 loc (Ω)d (poi denotata
∇u se esiste) che verifica
�
�
w · v dx = −
Ω
Ω
u div v dx per ogni v ∈ C ∞ c (Ω) d . (5.47)
Si dimostra immediatamente che ∇u esiste in senso debole se e solo se esistono le derivata parziali
prime deboli. In tal caso il gradiente è il vettore che ha quelle come componenti. Per parlare di
divergenza dobbiamo prendere una funzione vettoriale u ∈ L1 loc (Ω)d . La sua divergenza debole, se
esiste, è una funzione w ∈ L1 loc (Ω) che verifica
�
Ω
�
wv dx = −
Infine, se u ∈ L 1 loc (Ω) , una funzione w ∈ L1 loc
�
Ω
�
wv dx =
Ω
Ω
u · ∇v dx per ogni v ∈ C ∞ c (Ω) . (5.48)
(Ω) è il laplaciano debole di u se
u∆v dx per ogni v ∈ C ∞ c (Ω) . (5.49)
Il lettore può dimostrare facilmente che condizione sufficiente per l’esistenza del laplaciano debole
di u è ciascuna delle due seguenti: i) esiste il gradiente debole ∇u ∈ L1 loc (Ω)d e questo ha la
divergenza debole div ∇u ∈ L1 loc (Ω) (in tal caso quest’ultima è il laplaciano debole); ii) esistono le
derivate seconde D2 i u ∈ L1 loc (Ω) per i = 1, . . . , d (in tal caso il laplaciano debole è la loro somma).
5.58. Esercizio. Dimostrare che ciascuna delle formule
�u� = �
�D α u�p e �u� = max
|α|≤k �Dαu�p |α|≤k
definisce una norma equivalente alla (5.42). Per dare una dimostrazione veloce si ricordi quanto è
stato detto nell’Esercizio 5.39. Dimostrare inoltre che la formula
�u� p �
= (|u| p + |∇u| p ) dx
Ω
definisce una norma in W 1,p (Ω) equivalente alla (5.42) con k = 1 . Nella formula il gradiente ∇u
è il gradiente debole e il modulo denota la norma euclidea.
5.59. Esempio. Siano Ω un aperto di R d e p ∈ [1, +∞) . Si consideri lo spazio
W p
div (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) d : div u ∈ L p (Ω)}. (5.50)
Si tratta dunque dello spazio costituito dalle u ∈ Lp (Ω) d dotate di divergenza debole in Lp (Ω) ,
cioè tali che esista w ∈ Lp (Ω) verificante la definizione (5.48) di divergenza debole. Se si munisce
tale spazio della norma definita dalla formula
�u� p �
= |u| p �
dx + | div u| p dx
Ω
si ottiene uno spazio normato, prehilbertiano nel caso particolare p = 2 . Analogamente si ponga
L p
∆ (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) d : ∆u ∈ L p (Ω)} (5.51)
vale a dire lo spazio delle u ∈ Lp (Ω) tali che esista w ∈ Lp (Ω) verificante la (5.49). Se lo si
munisce della norma definita dalla formula
�u� p �
= |u|
Ω
p �
dx + |∆u|
Ω
p dx
si ottiene uno spazio normato, prehilbertiano nel caso particolare p = 2 .
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Ω
Gianni Gilardi