G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

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Indice Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 1 Norme e prodotti scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Seminorme, norme e prodotti scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 Spazi normati e prehilbertiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Spazi vettoriali topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 Esempi di spazi normati e prehilbertiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6 Alcune costruzioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 Completezza, spazi di Banach e di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Alcuni spazi di Banach e di Hilbert importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Completamenti di spazi metrici, normati, prehilbertiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Operatori e funzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2 Lo spazio duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Esempi di spazi duali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4 Spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 Proiezioni e rappresentazione dei funzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2 Decomposizioni e serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3 Il problema della compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 La convergenza debole in uno spazio normato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5 Compattezza debole sequenziale negli spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5 Il Teorema di Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1 Forma analitica del Teorema di Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2 Prime conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3 L’applicazione di dualità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4 Isomorfismo canonico, riflessività e convergenza debole* . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5 Spazi separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6 Compattezza debole* sequenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7 Compattezza debole sequenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8 L’aggiunto di un operatore lineare e continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9 Forme geometriche del Teorema di Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10 La semicontinuità inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11 Funzioni convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 12 Il sottodifferenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6 Spazi riflessivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 1 Classi di spazi riflessivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2 Costruzioni di spazi riflessivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7 I teoremi fondamentali di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 1 Il Lemma di Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2 Il Teorema di Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3 Il Teorema di Banach-Schauder dell’applicazione aperta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4 L’aggiunto di un operatore non limitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5 Ortogonalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6 Operatori chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7 Immagini chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8 Un problema di tipo ellittico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8 Spazi localmente convessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 1 Topologia generata da una famiglia di seminorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 2 Spazi localmente convessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3 Le topologie debole e debole* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4 Esempi di spazi funzionali localmente convessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 1 Spazi topologici e metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 2 Misure e integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3 Il Lemma di Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 4 Soluzioni di alcuni esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
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Operatori e funzionali 1.11. Defini
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Operatori e funzionali Ma Ω + (x0
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Operatori e funzionali Si noti che,
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Operatori e funzionali Dunque la fu
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Dividendo per �(v, w)� otteniam
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Capitolo 4 4.1. Definizione. Sia V
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Capitolo 5 2.2. Applicazione. Se
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Capitolo 5 Applicando il Corollario
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Capitolo 5 4.6. Definizione. Sia V
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Capitolo 5 Segnaliamo che, in situa
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Capitolo 5 5.12. Teorema. Sia V uno
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Capitolo 5 6.9. Osservazione. Il ca
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Capitolo 5 estrarre una sottosucces
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Capitolo 5 8.2. Osservazione. Natur
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Capitolo 5 9.3. Definizione. Siano
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Capitolo 5 Dunque z ∈ A . Siccome
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Capitolo 5 Se poi B(x0) = {Bn : n =
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Capitolo 5 Dimostrazione. L’epigr
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Capitolo 5 12. Il sottodifferenzial
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Capitolo 5 Fissiamo ora y ∈ D(ϕ)
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Capitolo 5 Osserviamo che, pur di e
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Capitolo 6 Spazi riflessivi Nel cap
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Spazi riflessivi norma | · |pk (di
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Inoltre w è di classe C 1 e per og
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8. Un problema di tipo ellittico I
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Capitolo 8 Dimostrazione. Per dimos
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Capitolo 8 Si noti che la convergen
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Capitolo 8 Gli esempi successivi ri
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Capitolo 8 Dimostrazione. Osserviam
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Appendice Capitolo II 1.7. Sia v
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Appendice Capitolo III 1.8. Se f =
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Appendice Capitolo IV 1.8. Denotiam
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Appendice misure siano finite). All
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Appendice Capitolo VII 3.12. L’ap
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Appendice Capitolo VIII 1.8. Vediam
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Appendice successione {vnk } tale c
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Appendice Precisamente la prima val
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