G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Norme e prodotti scalari
da p (dipende da p solo il fatto che essa appartenga o meno a L p (Ω) ). Detto ciò, la definizione
di W k,p (Ω) si riscrive nelle forma
W k,p (Ω) = {u ∈ L p (Ω) : D α u ∈ L p (Ω) per |α| ≤ k } (5.41)
precisando che le derivate sono intese in senso debole, e la (5.39) diventa
�u� p
�
�
k,p = |D
|α|≤k
Ω
α u| p dx. (5.42)
La derivata debole, regolare o meno, verifica tante buone proprietà, analoghe a quelle delle funzioni
di classe C k e che invece falliscono per funzioni che posseggono derivate q.o. ma irregolari.
Ad esempio, se Ω = (0, 1) e u è una funzione costante a tratti, allora u ha derivata classica q.o.,
precisamente la funzione nulla, ma questa non verifica la definizione di derivata debole. Di fatto
la derivata debole non esiste in questo caso (se non generalizzando ulteriormente nell’ambito della
Teoria delle distribuzioni): si veda il dettaglio dato tra breve. Al contrario, una funzione globalmente
continua in [0, 1] e regolare a tratti ha derivata debole: la derivata classica, che esiste q.o.
nelle ipotesi fatte, ne verifica la definizione. Più in generale, se Ω ⊂ R d è limitato, si ha
se u ∈ C 0 (Ω) e u|Ωi ∈ C1 (Ωi) per i = 1, . . . , n allora u ∈ W 1,p (Ω) per p ∈ [1, +∞) (5.43)
ove {Ωi} è una suddivisione finita di Ω verificante qualche condizione di regolarità. Ad esempio è
accettabile il caso in cui Ω è un poligono di R2 e i sottoinsiemi Ωi costituiscono una triangolazione
di Ω , cioè verificano le condizioni seguenti: i) ogni Ωi è un triangolo aperto e Ω = �n i=1 Ωi ;
ii) per i �= j le chiusure di Ωi e Ωj o sono disgiunte o hanno in comune un vertice o un lato. Il
lettore può controllare, integrando per parti, che le derivate classiche (definite fuori dalle interfacce)
effettivamente fungono da derivate deboli.
� Osserviamo inoltre che si possono considerare varie norme equivalenti, e una semplice è data da
|α|≤k�Dαu�p , che possono essere più comode in certi casi ma che non sarebbero prehilbertiane
nemmeno quando p = 2 . Al contrario, se p = 2 la norma (5.42) è indotta dal prodotto scalare
(u, v)k = �
�
D α u Dαv dx. (5.44)
Si pone di solito
|α|≤k
Ω
H k (Ω) = W k,2 (Ω) e � · �k = � · �k,2 . (5.45)
Osserviamo infine che si usa introdurre anche la seminorma definita dalla formula
|u| p
�
�
k,p = |D
|α|=k
Ω
α u| p dx. (5.46)
Allora �u� p
k,p = � k
j=0 |u|p
j,p .
5.57. Osservazione. Come si è già osservato, la definizione di derivata debole può essere data
nell’ambito degli spazi di tipo L1 loc , cioè indipendentemente da proprietà di appartenza a spazi
di tipo Lp . Addirittura possiamo parlare di una derivata specifica Dαu ∈ L1 loc (Ω) di un certo
ordine di una funzione u ∈ L1 loc (Ω) imponendo l’esistenza di uα ∈ L1 loc (Ω) verificante la (5.38) per
quel preciso multi-indice α , senza richiedere nulla sulle altre derivate, in particolare su quelle di
ordine inferiore. Inoltre, quanto abbiamo fatto per le derivate può essere ripetuto per vari operatori
differenziali. Qui vogliamo mettere l’attenzione sugli operatori gradiente, divergenza e laplaciano.
Nel caso regolare il gradiente, la divergenza e il laplaciano classici svolgono il ruolo richiesto a
Analisi Funzionale
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