G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
Prendiamo ora u = w v dove w : Ω → R d e v : Ω → R sono pure di classe C 1 . Grazie alla
formula di Leibniz, la (5.34) diventa
�
Ω
�
�
w · ∇v dx = − (div w) v dx + w · n v dS (5.35)
Ω
∂Ω
che è “la formula di integrazione per parti” per antonomasia. Se ora v ∈ C ∞ c (Ω) , l’integrale di
bordo è nullo e la (5.35) diventa
�
Ω
�
w · ∇v dx = − (div w) v dx. (5.36)
Ω
Inoltre è facile convincersi che questa stessa formula vale senza le ipotesi di limitatezza e di regolarità
fatte su Ω , in quanto, di fatto, gli integrali sono eseguiti su un compatto anziché su tutto Ω . Per lo
stesso motivo possiamo supporre w di classe C 1 solo in Ω anziché in Ω . Prendiamo ora w = u ei
ove u ∈ C 1 (Ω) e ei è l’ i -esimo versore della base canonica di R d . Allora dalla (5.36) otteniamo
�
Ω
�
Diu v dx = − u Div dx
Ω
ove Di è la derivazione parziale rispetto a xi . Iterando abbiamo la formula generale
�
D
Ω
α u v dx = (−1) |α|
�
Ω
valida non appena |α| ≤ k .
u D α v dx per ogni u ∈ C k (Ω) e v ∈ C ∞ c (Ω) (5.37)
5.56. Esempio (spazi di Sobolev). Siano Ω un aperto di R d , k ≥ 0 un intero e p ∈
[1, +∞) . Denotiamo con W k,p (Ω) l’insieme delle funzioni u ∈ L p (Ω) tali che per ogni multiindice
α verificante |α| ≤ k esista una funzione uα ∈ L p (Ω) verificante
�
Ω
uαv dx = (−1) |α|
�
e muniamo tale spazio della norma definita dalla formula
Ω
u D α v dx per ogni v ∈ C ∞ c (Ω) (5.38)
�u� p
�
�
k,p = |uα|
|α|≤k
Ω
p dx. (5.39)
Vale la pena di riscrivere la richiesta nel caso semplice k = d = 1 : esiste w ∈ L p (Ω) tale che
�
Ω
wv dx = −
�
uv
Ω
′ dx per ogni v ∈ C∞ c (Ω) (5.40)
Osserviamo che la norma è effettivamente ben definita. Infatti, grazie al Lemma 5.53 e
all’Esercizio 5.48, per ciascuno degli α considerati, la funzione uα è unica (in particolare
u (0,...,0) = u ). Notiamo che la (5.38) appare come una formula di integrazione per parti, che dunque
vale per definizione, se si interpreta uα come una derivata. Effettivamente tale uα viene detta
derivata debole, oppure derivata nel senso delle distribuzioni, e denotata con il simbolo Dαu . La
terminologia e la notazione sono giustificate dai fatti seguenti: i) se u è di classe Ck e le derivate
di ordine ≤ k appartengono a Lp (Ω) , allora come uα possiamo prendere Dαu ; ii) la (5.38) ha
senso più in generale con uα ∈ L1 loc (Ω) per cui l’esistenza o meno della derivata debole non dipende
24
Gianni Gilardi