G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Norme e prodotti scalari
Dimostrazione. Presentato R come prodotto cartesiano degli intervalli [ai, bi] , i = 1, . . . , d , si scelga,
per i = 1, . . . , d e per ogni n ≥ 1 , una funzione ζi,n : R → R di classe C ∞ verificante la (5.27) con a = ai ,
b = bi , a ′ = ai − 1/n e b ′ = bi + 1/n e si definisca ζn : Ω → R mediante la formula
ζn(x) =
d�
ζi,n(xi) per x = (x1, . . . , xd) ∈ Ω .
i=1
Allora ζn ∈ C ∞ (Ω) e ζn = 1 in R per ogni n . Inoltre, se δ è dato dalla Proposizione A.1.21 in
corrispondenza al compatto R e al chiuso R d \ int K , risulta ζn = 0 in Ω \ K per n abbastanza grande
(precisamente se d 1/2 /n < δ ). Infine, siccome per ogni x ∈ Ω\R fissato, si ha ζn(x) = 0 per n abbastanza
grande (precisamente se d 1/2 /n < dist(x, R) ), concludiamo anche che {ζn} converge puntualmente a χ R .
5.53. Lemma. Siano Ω un aperto di Rd e u ∈ L1 loc (Ω) tale che
Allora u = 0 q.o.
�
Ω
u v dx = 0 per ogni v ∈ C ∞ c (Ω) . (5.32)
Dimostrazione. Sia R un rettangolo compatto incluso in Ω . Scelto un rettangolo compatto K ⊂ Ω il
cui interno includa R (una tale scelta è possibile per la Proposizione A.1.21), sia {ζn} data dal Lemma 5.52.
Applicando il Teorema della convergenza dominata abbiamo allora
� �
�
�
R
u dx =
K
u χ R dx = lim
n→∞
K
u ζn dx = lim
n→∞
Ω
u ζn dx = 0.
Siccome il rettangolo R è arbitrario, segue che u = 0 q.o. (grazie al Corollario A.2.32).
5.54. Osservazione. Ferme restando le altre ipotesi, per u reale, se si rimpiazza la condizione
(5.32) con �
Ω u v dx ≥ 0 per ogni v ∈ C∞ c (Ω) non negativa, segue che u ≥ 0 q.o.
Deduciamo dal Lemma 5.53 un facile corollario. Anche se ora non se ne vede l’utilità immediata,
avremo modo di sfruttarlo successivamente in varie situazioni.
5.55. Corollario. Siano Ω un aperto di Rd u ∈ L
e x0 ∈ Ω . Allora non esiste alcuna funzione
1 loc (Ω) tale che �
uv dx = v(x0)
Ω
per ogni v ∈ C∞ c (Ω) . (5.33)
Dimostrazione. Per assurdo, una tale u esista. Poniamo Ω ′ = Ω\{x0} e sia v ∈ C ∞ c (Ω ′ ) . Prolunghiamo
v a tutto Ω ponendo v(x0) = 0 . Allora la (5.33) fornisce �
Ω ′ uv dx = �
uv dx = 0 . Per l’arbitrarietà di
Ω
v e per il Lemma 5.53, applicato all’aperto Ω ′ , deduciamo u = 0 q.o. in Ω ′ , da cui u = 0 q.o. in Ω . Ma
allora la (5.33) diventa 0 = v(x0) per ogni v ∈ C∞ c (Ω) , e ciò è assurdo in quanto C∞ c (Ω) contiene anche
funzioni non nulle in x0 (si prenda ad esempio v(x) = ρ((x − x0)/r) ove ρ è data dalla (5.28) e r > 0 è
scelto in modo che Br(x0) ⊂ Ω ).
Diamo ora qualche richiamo sull’integrazione per parti in più variabili. Partiamo dal Teorema
della divergenza di Gauss. Se Ω è un aperto limitato di Rd verificante opportune condizioni di
regolarità (deve almeno avere senso la normale esterna considerata sotto) e u : Ω → Rd è una
funzione di classe C1 (per evitare equivoci interpretiamo ciò come segue: esiste un prolungamento
di classe C1 definito in un aperto che include Ω ), allora vale la formula
�
�
div u dx = u · n dS (5.34)
Ω
ove n : ∂Ω → R d è la “normale esterna”, cioè il campo vettoriale che, per ogni x ∈ ∂Ω , verifica:
n(x) è normale a ∂Ω in x , |n(x)| = 1 e x + tn(x) �∈ Ω per t > 0 abbastanza piccolo.
Analisi Funzionale
∂Ω
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