G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
5.51. Osservazione. Lo spazio C ∞ c (Ω) è piuttosto ricco e conviene spendere qualche parole in
proposito. Si parta dalla funzione ϕ : R → R definita dalle formule ϕ(t) = exp(−1/t) se t > 0 e
ϕ(t) = 0 se t ≤ 0 . Essa è di classe C∞ . Posto allora ψ(t) = c � t
0 ϕ(s) ϕ(1 − s) ds per t ∈ R , ove
c > 0 è scelto in modo che ψ(1) = 1 , anche ψ è di classe C∞ e verifica
ψ(t) = 0 se t ≤ 0 , ψ(t) = 1 se t ≥ 1 e 0 < ψ(t) < 1 se 0 < t < 1 . (5.26)
Siano ora a, b, a ′ , b ′ ∈ R tali che a ′ < a < b < b ′ e si definisca ζ : R → R mediante la formula
ζ(t) = ψ((t − a ′ )/(a − a ′ )) ψ((t − b ′ )/(b − b ′ )) . Allora ζ è di classe C ∞ e verifica
ζ = 1 in [a, b] , ζ = 0 in R \ (a ′ , b ′ ) e 0 < ζ < 1 in (a ′ , b ′ ) \ [a, b] . (5.27)
Definiamo ora ρ : R d → R come segue. Scegliamo ad esempio a ′ = 0 , a = 1/3 , b = 2/3 e b ′ = 1
nella costruzione di ζ e poniamo ρ(x) = cζ(|x|) per x ∈ R d , ove c > 0 . Allora ρ è di classe C ∞
e, con una scelta ovvia di c , verifica
ρ(x) > 0 se |x| < 1 , ρ(x) = 0 se |x| ≥ 1 e
�
R d
ρ dx = 1. (5.28)
Notiamo per inciso che l’esistenza di funzioni del tipo (5.28) consente di costruire una procedura
generale di regolarizzazione cui ora accenniamo (caso particolare di convoluzione, ma non vogliamo
andare oltre questa parola). Si fissi ρ : R d → R di classe C ∞ e verificante le condizioni (5.28).
Sia ora v ∈ L 1 loc (Rd ) . Per ε > 0 e x ∈ R d poniamo
e osserviamo che
vε(x) = ε −d
�
Bε(x)
�
vε(x) =
B1(0)
v(z) ρ((z − x)/ε) dz = ε −d
�
v(x + εy) ρ(y) dy (5.29)
R d
v(z) ρ((z − x)/ε) dz (5.30)
così che vε è di classe C ∞ per la teoria degli integrali dipendenti da parametri. La (5.29), invece,
ci fornisce la disuguaglianza
sup
x∈Rd |vε(x) − v(x)| ≤ sup |v(x) − v(z)|. (5.31)
|x−z|≤ε
Infatti la terza delle (5.28) implica
�
�
v(x) = v(x) ρ(y) dy da cui |vε(x) − v(x)| ≤
B1(0)
B1(0)
|v(x + εy) − v(x)| ρ(y) dy
e quindi la disuguaglianza voluta. Dunque la costruzione di vε a partire da v è una procedura di
regolarizzazione e la disuguaglianza (5.31) mostra che �vε − v�∞ tende a 0 se v è uniformemente
continua. Molto altro si potrebbe dire, ma preferiamo soprassedere.
Anche se talora nel seguito potremo far riferimento alla procedura di regolarizzazione abbozzata
sopra, ora, per dimostrare quanto ci serve, usiamo metodi “artigianali” che si appoggiano a proprietà
di tipo (5.27). Per la definizione di funzione caratteristica si veda la (A.2.3).
5.52. Lemma. Siano Ω un aperto di R d e R e K due rettangoli compatti inclusi in Ω tali
che R sia incluso nell’interno di K . Allora esiste una successione {ζn} di funzioni ζn ∈ C ∞ c (Ω) ,
verificanti 0 ≤ ζn ≤ 1 in Ω , ζn = 1 in R e ζn = 0 in Ω \ K per ogni n , che converge
puntualmente alla funzione χ R caratteristica di R .
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Gianni Gilardi