G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
Precisamente la prima vale per opportune scelte di M , m e p1, . . . , pm ∈ [1, +∞) ; per quanto
riguarda la seconda, per ogni p ∈ [1, +∞) , essa vale con un’opportuna costante Mp . Ma allora,
in V , la norma � · � è equivalente alla norma indotta dallo spazio dell’intersezione finita di L pi (Ω) ,
i = 1, . . . , m , spazio che denotiamo con W per semplicità. La completezza già dimostrata di V , che
necessariamente coincide con la completezza dello spazio normato (V, � · �) , implica la completezza
di V rispetto alla norma indotta da W . Dunque V è un sottospazio chiuso di W , mentre si può
facilmente vedere che V è addirittura denso in W , assurdo.
Un altro modo di vedere che le disuguaglianze precedenti portano all’assurdo è il seguente. Siano
x0 ∈ Ω e q il massimo dei pi e consideriamo la successione {vn} = {cn χ n} ove χ n è la funzione
caratteristica della palla B 1/n(x0) , che possiamo supporre inclusa in Ω , e cn è un coefficiente
positivo da determinare in modo che vn → 0 in L q (Ω) ma non in tutti gli L p (Ω) con p > q .
Detta µ la misura di B1(0) , la misura di B 1/n(x0) vale µn −d per cui, per ogni p ∈ [1, +∞) ,
abbiamo �vn� p p = µn −d c p n . Scegliamo allora cn in modo che {n −d c p n} sia infinitesima se p = q e
non lo sia se p è troppo grande. In ogni dimensione d ≥ 1 ciò si realizza prendendo ad esempio cn
definita dalla formula n −d c q n = n −1/2 , dato che n −d c p n = n −d+(p/q)(d−1/2) ha esponente negativo
se p = q e positivo se p è abbastanza grande. In tali condizioni vn → 0 in L q (Ω) , dunque
anche L p (Ω) con ogni p ≤ q , in particolare in L pi (Ω) per i = 1, . . . , m . La prima disuguaglianza
fornisce allora �vn� → 0 . Ma se prendiamo p abbastanza grande vediamo che contraddiciamo la
seconda.
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Gianni Gilardi