G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
per ogni compatto K ⊂ Rd e per ogni λ > 0 abbiamo infatti supK |v| ≤ |v|λ (e sarebbero bastati
un solo valore di λ e una costante moltiplicativa, entrambi dipendenti da K , anzi meno ancora).
4.23. Controlliamo solo l’ultima affermazione. Poniamo V = Gs L (ω) . Innanzi tutto una famiglia
numerabile di seminorme che genera la stessa topologia si ottiene rimpiazzando la famiglia dei
compatti con una successione di aperti ben contenuti che invade Ω . Dunque V è localmente convesso
metrizzabile. Vediamo la completezza. Sia {vn} una successione di Cauchy. Allora, per ogni
compatto K ⊂ Rd e per ogni ε > 0 , esiste m tale che L−|α| (α!) s supK |Dαvn ′ − Dαvn ′′| ≤ ε per
ogni n ′ , n ′′ ≥ m e per ogni multi-indice α . In particolare, ogni volta che fissiamo K e α ,
vediamo che D α vn è di Cauchy in C 0 (K) . Deduciamo che {vn} è di Cauchy in C ∞ (R d ) ,
dunque convergente in tale spazio a una certa funzione v . Mostriamo che v ∈ V . Riapplichiamo
la condizione di Cauchy con K qualunque e ε = 1 e conserviamo le notazioni già introdotte.
Scegliamo n ′ = m e n ′′ = n arbitrario ≥ m . Facendo tendere n all’infinito otteniamo
L −|α| (α!) s |D α vm(x) − D α v(x)| ≤ 1 per ogni x ∈ K e ogni multi-indice α . Siccome vm ∈ V ,
concludiamo che L −|α| (α!) s |D α v(x)| ≤ 1 + |vm|K,s,L per ogni x ∈ K e ogni multi-indice α , quindi
che la seminorma |v|K,s,L è finita. Ciò prova che v ∈ V . Per dimostrare la cocvergenza di {vn}
a v dobbiamo controllare che tutte le seminorme, calcolate su vn − v , danno successioni infinitesime.
Fissiamo dunque il compatto K e ε > 0 . Riapplichiamo ancora una volta la condizione di
Cauchy, con tali K ed ε , e usiamo le notazioni introdotte all’inizio e la corrispondente disuguaglianza.
Scegliamo n ′ = n ≥ m e n ′′ ≥ m arbitrari. Facendo tendere n ′′ all’infinito otteniamo
L −|α| (α!) s |D α vn(x) − D α v(x)| ≤ ε per ogni x ∈ K , ogni multi-indice α e ogni n ≥ m . Dunque
|vn − v|K,s,L ≤ ε per ogni n ≥ m .
4.25. Supponendo Ω intervallo (aperto), dobbiamo controllare che, se L > 0 e v ∈ G1 L (Ω) , allora
v è analitica. Sia x0 ∈ Ω . Scelto δ > 0 tale che il compatto K = [x0 −δ, x0 +δ] sia incluso in Ω ,
per ogni intero positivo α e x ∈ K scriviamo la formula di Taylor adatta allo scopo. Troviamo ξ
compreso fra x0 e x tale che
� α−1
� �
�v(x) −
k=0
f (k) (x0)
k!
(x − x0) k
� �
� �
� = � f (α) (ξ)
(x − x0)
α!
α
�
�
� ≤ L α |v|K,1,L|x − x0| α = |v|K,1,L(L|x − x0|) α .
Se, in aggiunta, supponiamo |x − x0| < 1/L , deduciamo che v(x) è la somma della serie di Taylor.
4.29. Una famiglia numerabile di seminorme che genera la stessa topologia si ottiene lasciando variare
p solo negli interi positivi. Per controllare tale equivalenza dobbiamo, per ogni p ∈ [1, +∞) ,
trovare una costante M e un numero finito di interi positivi pi , i = 1, . . . , n , tali che �v�p ≤
M �n �v�pi per ogni v ∈ V . Se p è già intero la situazione è banale. In caso contrario, scegliamo
i=1
n = 2 e p1 = 1 e come p2 prendiamo un intero m > p . Allora 1 < p < m e possiamo usare la
disuguaglianza di interpolazione, valida per un opportuno ϑ ∈ (0, 1) , e la disuguaglianza di Young
con gli esponenti ϑ−1 e (1 − ϑ) −1 , che sono coniugati fra loro. Per ogni v ∈ V abbiamo allora
�v�p ≤ �v� ϑ 1�v� 1−ϑ
m ≤ 1
ϑ �v�1 + 1
1 − ϑ �v�m ≤ M (�v�1 + �v�m)
con ovvia scelta di M . Dunque V è uno spazio localmente convesso metrizzabile. La completezza
si dimostra poi facilmente: se {vn} è una successione di Cauchy, allora essa è di Cauchy
in ogni L p (Ω) , dunque convergente in ciascuno di tali spazi. Ma la funzione limite v è la stessa
per ogni p , per cui v ∈ V e vn → v in V .
Sia ora Ω un aperto di R d : dobbiamo dimostrare che non esiste alcuna norma che induce la
topologia di V . Per assurdo una tale norma � · � esista. Allora valgono le disuguaglianze
Analisi Funzionale
�v� ≤ M
m�
�v�pi e �v�p ≤ Mp�v� per ogni v ∈ V .
i=1
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