G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
successione {vnk } tale che, per ogni m e α , converge uniformemente in Ωm la successione delle
derivate {D α vnk } . La funzione candidata ad essere il limite di {vnk } in C∞ (Ω) è la funzione v
la cui restrizione a ciascuno degli Ωm è il limite della successione {vnk |Ωm} . Effettivamente tale
v è ben definita e si conclude senza difficoltà.
4.19. Se A ⊆ Ω poniamo B|A = {v|A : v ∈ B} per semplificare il linguaggio. Consideriamo la
condizione intermedia
i) B|K è equicontinuo per ogni compatto K ⊂ Ω
e dimostriamo che essa equivale ad entrambe le condizioni menzionate nell’esercizio. Sia B relativamente
compatto in C 0 (Ω) : verifichiamo la i) . Sia K ⊂ Ω un compatto e sia {vn} una
successione di elementi di B|K . Allora esiste una successione {un} di elementi di B tale che
vn = un|K per ogni n . Siccome B è relativamente compatto, questa ha una sottosuccessione
convergente in C 0 (Ω) . Restringendo a K otteniamo una sottosuccessione di {vn} che converge
in C(K) . Ciò mostra che B|K è relativamente compatto in C(K) , dunque equicontinuo per il
Teorema di Ascoli. Valga ora la i) : dimostriamo che B è relativamente compatto in C 0 (Ω) . Sia
dunque {vn} una successione di elementi di B : dobbiamo costruire una sottosuccessione convergente
in C 0 (Ω) . Fissiamo una successione {Ωm} di aperti ben contenuti che invade Ω e osserviamo
che l’ipotesi implica che B|Ωm è relativamente compatto in Vm = C 0 (Ωm) per ogni m : infatti
B|Ωm è anche limitato in Vm come conseguenza della limitatezza di B e possiamo applicare il
Teorema di Ascoli. In particolare da ogni sottosuccessione estratta da {vn} si può ulteriormente
estrarre una sottosuccessione convergente uniformemente in Ωm . Allora con il metodo diagonale di
Cantor estraiamo da {vn} una sottosuccessione che converge uniformemente in ciascuno degli Ωm .
Ma ciò significa che la sottosuccessione converge in C 0 (Ω) . Quindi F è relativamente compatto.
Abbiamo dunque dimostrato che B è relativamente compatto se e solo se vale la i) .
Valga ora la i) e sia x0 ∈ Ω : per soddisfare la condizione dell’enunciato basta, banalmente,
prendere un intorno compatto di x0 . Supponiamo infine che ogni x0 ∈ Ω abbia un intorno I
tale che B|I sia equicontinuo e dimostriamo la i) . Siano dunque K ⊂ Ω un compatto e ε > 0 :
dobbiamo trovare δ > 0 tale che |v(x) − v(y)| ≤ ε per ogni v ∈ B e ogni coppia di punti x, y ∈ K
verificanti |x − y| ≤ δ . Per ogni z ∈ K sia r(z) > 0 tale che B 2r(z)(z) ⊆ Ω e B| B2r(z)(z) sia
equicontinuo. Considerando il ricoprimento di K costituito dalla palle B r(z)(z) , vediamo che
esistono punti zi ∈ K , i = 1, . . . , m , tali che, posto ri = r(zi) , risulti K ⊂ ∪ m i=1 Bri (zi) e
B| B2r i (zi) sia equicontinuo per i = 1, . . . , m . Per i = 1, . . . , m sia δi > 0 tale che |v(x) − v(y)| ≤ ε
per ogni v ∈ B e ogni coppia di punti x, y ∈ B2ri (zi) verificanti |x − y| ≤ δi e sia, finalmente,
δ > 0 verificante δ < δi e δ < ri per i = 1, . . . , m . Allora possiamo concludere. Siano v ∈ B e
x, y ∈ K tali che |x − y| ≤ δ . Scelto i tale che x ∈ Bri (zi) si ha |xi − y| < ri + δ < 2ri per cui
y ∈ B2ri (zi) . Ma x ∈ B2ri (zi) e |x − y| ≤ δ ≤ δi . Dunque |v(x) − v(y)| ≤ ε .
4.20. Verifichiamo che le seminorme sono ben definite. Fissiamo v ∈ V e λ > 0 . Allora esiste r ,
che possiamo supporre ≥ 1 , tale che |v(x)| ≤ |x| −λ per |x| > r . Segue |v(x)| ≤ 1 e dunque
(1 + |x| λ )|v(x)| ≤ 2 per |x| > r . D’altra parte (1 + |x| λ )|v(x)| ≤ M se |x| ≤ r per una
certa costante M . Dunque |v|λ < +∞ . La famiglia è ovviamente separata: ogni seminorma è
addirittura una norma. Una famiglia equivalente si ottiene lasciando variare λ fra gli interi positivi
anziché in tutto (0, +∞) . Infatti, se λ > 0 e n ≥ λ , si ha |x| λ |v(x)| ≤ |x| n |v(x)| per |x| ≥ 1
e |x| λ |v(x)| ≤ |v(x)| per |x| ≤ 1 , da cui facilmente |v|λ ≤ 2|v|n . Dunque lo spazio ottenuto è
localmente convesso metrizzabile. Dimostriamo la completezza. Sia {vn} di Cauchy. Allora, per
ogni λ > 0 , le funzioni v λ n definite da v λ n(x) = (1 + |x| λ )vn(x) costituiscono una successione di
Cauchy nello spazio C 0 b (Rd ) delle funzioni continue e limitate munito dell’usuale norma � · �∞ .
Dunque tale successione converge uniformemente a una funzione continua limitata v λ . Siccome la
convergenza uniforme implica quella puntuale e vale il legame (1 + |x| µ )v λ n(x) = (1 + |x| λ )v µ n(x)
per ogni x , n , λ e µ , tale legame passa al limite e la definizione v(x) = (1 + |x| λ ) −1 v λ (x) non
dipende da λ . A questo punto è chiaro che v ∈ V e che {vn} converge a v nella topologia
considerata. Infine la continuità dell’immersione di V in C 0 (R d ) è immediata. Per ogni v ∈ V ,
246
Gianni Gilardi