G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Norme e prodotti scalari
5.45. Aperti regolari. Apriamo una parentesi per dire due parole sulla regolarità di un aperto
Ω ⊆ R d con d > 1 . Ciò che in generale si richiede è che, per ogni punto x0 ∈ ∂Ω , esistano
un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in x0 tale che, nelle nuove coordinate
y1, . . . , yd , avvenga quanto segue. Esistono un aperto ω di R d−1 , un numero reale δ > 0 e una
funzione ϕ : ω → R tali che, l’insieme Ω ′ = {y = (y ′ , yd) ∈ ω × R : |yd − ϕ(y ′ )| < δ} sia un intorno
dell’origine e, per (y ′ , yd) ∈ Ω ′ , risulti: i) y ∈ Ω se e solo se yd > ϕ(y ′ ) ; ii) y ∈ ∂Ω se e solo
se yd = ϕ(y ′ ) . Di conseguenza si ha iii) y �∈ Ω se e solo se yd < ϕ(y ′ ) . La regolarità di Ω viene
poi precisata attraverso ipotesi di regolarità delle funzioni ϕ che si ottengono. Così una palla è un
aperto di classe C ∞ mentre un poligono aperto di R 2 è un aperto lipschitziano non di classe C 1 .
L’aperto costruito nell’Osservazione 5.43 è di classe C 0 (e anche stellato) ma non lipschitziano.
5.46. Esempio (spazi di Hölder). Siano Ω un aperto limitato di R d e α ∈ (0, 1] . Una
funzione v : Ω → K è detta hölderiana di esponente α oppure α -hölderiana quando esiste una
costante L ≥ 0 tale che
|v(x) − v(y)| ≤ L|x − y| α per ogni x, y ∈ Ω . (5.24)
Le funzioni 1 -hölderiane si chiamano anche lipschitziane. La minima delle costanti L verificanti
la (5.24) si chiama costante di Hölder (di Lipschitz se α = 1 ) di v . Notiamo che la definizione
avrebbe senso anche per α > 1 , ma che in tale caso ogni funzione α -hölderiana avrebbe gradiente
identicamente nullo e quindi sarebbe costante su ciascuna delle componenti connesse di Ω . Dunque
si cadrebbe in un caso privo di interesse. Se poi k è un intero non negativo poniamo
C k,α (Ω) = {v ∈ C k (Ω) : D β v è hölderiana di esponente α per |β| ≤ k }
(attenzione: stiamo chiamando β i multi-indici perché α ha già un altro significato, imposto dalla
prassi secondo la quale l’esponente di Hölder si denota con α ) e muniamo C k,α (Ω) della norma
�v�k,α = �
�
sup |D
x∈Ω
β |D
v(x)| + sup
x�=y
βv(x) − Dβv(y)| |x − y| α
�
. (5.25)
|β|≤k
Gli spazi normati che si ottengono non sono prehilbertiani. Segnaliamo che, se α ∈ (0, 1) , spesso
si scrive C k+α (Ω) anziché C k,α (Ω) . Ad esempio C 1/2 (Ω) = C 0,1/2 (Ω) e C 3/2 (Ω) = C 1,1/2 (Ω) .
Gli spazi di Hölder sono importanti nella teoria delle equazioni alle derivate parziali, ad esempio
di tipo ellittico. Nella stessa teoria è pure notevolissima la classe degli spazi W k,p (Ω) di Sobolev che
ora definiamo. Infatti è nell’ambito degli spazi di Hölder e di Sobolev che si riescono a dimostrare
teoremi di buona positura e di regolarità ottimale delle soluzioni, mentre gli analoghi enunciati
nell’ambito delle funzioni di classe C k sono in generale falsi se d > 1 . All’introduzione degli spazi
di Sobolev premettiamo alcune nozioni propedeutiche. Facciamo osservare che, almeno per ora,
lo spazio L1 loc (Ω) che ora introduciamo è solo uno spazio vettoriale. Una topologia adeguata verrà
introdotta solo molto più tardi.
5.47. Definizione. Sia Ω un aperto di Rd . Denotiamo con L1 loc (Ω) lo spazio vettoriale delle
(classi di) funzioni misurabili v : Ω → K che sono integrabili in ogni compatto K ⊂ Ω .
5.48. Esercizio. Si dimostri che Lp (Ω) ⊆ L1 loc (Ω) per ogni p ∈ [1, +∞] .
5.49. Definizione. Siano Ω un aperto di R d e v ∈ C 0 (Ω) . Diciamo che v è una funzione a
supporto compatto quando esiste un compatto K ⊂ Ω tale che v = 0 in Ω \ K .
5.50. Definizione. Se Ω è un aperto di R d , il simbolo C ∞ c (Ω) denota lo spazio delle funzioni
v : Ω → K di classe C ∞ a supporto compatto.
Analisi Funzionale
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