G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
elemento di V ∗ , allora T è più fine di T0 . Siano x0 ∈ V e I un intorno di x0 in T0 : dobbiamo
dimostrare che I è un intorno di x0 in T . Possiamo supporre che I abbia la forma I = {x ∈
V : |〈fi, x − x0〉| < r, i = 1, . . . , n} per un certo r > 0 e certi fi ∈ V ∗ . Fissiamo ora i . Siccome
〈fi, x − x0〉 = 〈fi, x〉 − 〈fi, x0〉 e fi è continuo rispetto a T , esiste un intorno Ji di x0 nella
topologia T tale che |〈fi, x − x0〉| < r per ogni x ∈ Ji . Posto allora J = �n i=1 Ji , anche J è un
intorno di x0 nella topologia T e per ogni x ∈ J si ha |〈fi, x − x0〉| < r per ogni i . Ciò mostra
che J ⊆ I , cioè che I ⊇ J e, dunque, che I è un intorno di x0 in T .
3.17. Quanto c’è da dimostrare sostanzialmente coincide con il Corollario VII.2.2.
le famiglie di seminorme che generano le due topologie deboli in accordo
3.18. Siano F ∗ V e F ∗ W
con la Definizione VIII.3.1. Dobbiamo dimostrare che, per ogni q ∈ F ∗ W , esistono una costante M
e pi ∈ F ∗ V , i = 1, . . . , n , in numero finito tali che q(Lv) ≤ M maxi=1,...,n pi(v) per ogni v ∈ V . Si
ha q(w) = |〈g, w〉| per ogni w ∈ W per un certo g ∈ W ∗ . Si ha allora q(Lv) = |〈g, Lv〉| = |〈f, v〉|
per ogni v ∈ V , ove si è posto f = g ◦ L e si è osservato che f ∈ V ∗ . Dunque si può prendere
M = 1 e l’unica seminorma p = |〈f, · 〉| ∈ F ∗ V .
4.2. Si parta da una successione {Ωm} di aperti ben contenuti che invade Ω e che goda della
proprietà seguente: Ωm ⊂ Ωm+1 per ogni m (la (4.1) garantisce ciò). Basta allora saper costruire,
per ogni m , un aperto Ω ′ m con Ωm ⊆ Ω ′ m ⊆ Ωm+1 che sia anche regolare, e il problema si è
spostato sul seguente: dati un aperto Ω (diverso da R d altrimenti il problema non sussiste) e un
suo sottoinsieme compatto K , trovare un aperto regolare compreso fra i due. Sia δ > 0 la distanza
fra K e il complementare di Ω , che è un chiuso disgiunto da K . Per ogni x ∈ K si prenda il
cubo aperto Cx = x + (−η, η) d ove η > 0 è scelto in modo che il diametro di Cx sia ≤ δ/2 . Dalla
famiglia di tutti questi cubi si estragga una famiglia finita {Cxi : i = 1, . . . , p} che ancora ricopra
K e si denoti con Ω ′ la sua unione. Ora Ω ′ non è regolare, ma la sua irregolarità non è arbitraria
come quella di Ω ; inoltre vi è un margine di δ/2 sia fra K e il complementare di Ω ′ sia fra la
chiusura di Ω ′ e il complementare di Ω . Dunque deve essere possibile regolarizzare Ω ′ in modo
che il nuovo aperto verifichi quanto è richiesto. Il primo passo è evitare una spiacevole situazione
che potrebbe accadere per qualche coppia di cubi: i due cubi, che sono aperti, sono disgiunti
mentre le loro chiusure hanno punti comuni. Per rimediare basta aumentare leggermente il lato
di uno dei due senza compromettere l’inclusione Ω ′ ⊆ Ω e generare guai dello stesso tipo altrove;
dopo un numero finito di passi si è a posto, cioè le componenti connesse hanno chiusure fra loro
disgiunte, quindi distanti per la Proposizione 1.21, e basta regolarizzare ciascuna delle componenti
connesse. Supponiamo dunque Ω ′ già connesso. A questo punto, se d = 2 , la situazione è chiara:
siamo di fronte a un poligono e basta arrotondarlo vicino ai vertici, e ciò si può fare ottenendo un
aperto di classe C∞ . Se d > 2 la situazione è più complessa: già con d = 3 non è detto che la
frontiera di Ω ′ sia localmente un grafico! Questo fatto spiacevole accade ad esempio prendendo
l’interno dell’unione dei due cubi chiusi C1 = [0, 2] 3 e C2 = (1, 1, 1) + C1 e considerando il punto
x0 = (1, 2, 1) : non vi è un punto vista dal quale si riesca a vedere, per un certo r > 0 , tutto
l’insieme Br(x0) ∩ ∂Ω ′ , cioè non esiste sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel quale ∂Ω ′
si rappresenti come grafico vicino a x0 . Tuttavia, se si inclina leggermente qualche faccia dei cubi
si rimedia all’inconveniente e ci si riconduce a regolarizzare qualcosa che, almeno localmente, è un
grafico. Dunque si intuisce che è possibile regolarizzare Ω ′ in modo da soddisfare tutte le richieste.
4.6. Data v ∈ C0 (Ω) , prendiamo vm = vζm ove ζm è come suggerito, e verifichiamo che vm → v
in C0 (Ω) . Sia K ⊂ Ω un compatto: dobbiamo controllare che vm → v uniformemente in K . Sia
m0 tale che K ⊂ Ωm0 e sia m ≥ m0 . Allora K ⊂ Ωm per cui, per ogni x ∈ K , risulta ζm(x) = 1
e quindi vm(x) = v(x) . Dunque vm = v in K per ogni m ≥ m0 e la convergenza desiderata è
una banalità. Invece la dimostrazione del fatto che C0 c (Ω) non è denso in C0 (Ω) è immediata: se
v = 1 ∈ C0 (Ω) e {vn} è una successione di elementi di C0 c (Ω) , risulta �v − vn�∞ = 1 per ogni n ,
per cui {vn} non può convergere uniformenente a v .
4.18. Lo stesso discorso fatto a partire da un limitato B di C∞ (Ω) abbinato alla regolarità
degli Ωm porta a questo: per ogni successione {vn} di elementi di B , ogni m e ogni multiindice
α , la successione {Dαvn|Ωm} ha una sottosuccessione convergente uniformemente in Ωm .
Data allora una successione {vn} di elementi di B , il procedimento diagonale produce una sotto-
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