G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
Capitolo VIII
1.8. Vediamo solo l’ultima affermazione. Se F = {| · |i , i = 1, . . . , n} è una famiglia finita di
seminorme in V , la formula �v� = maxi=1,...,n|v|i definisce ancora una seminorma. Se la famiglia
F è separata allora � · � è una norma: infatti da �v� = 0 segue |v|i = 0 per ogni i e dunque
v = 0 . Controlliamo che F e � · � generano la stessa topologia. Denotiamo con Br(0) e con
B i r(0) la palla associata alla norma e la semipalla associata alla i -esima seminorma. Dato r > 0
ad arbitrio, se |v|i < r per ogni i , allora �v� < r . Dunque � n
i=1 Bi r(0) ⊆ Br(0) (di fatto vale
l’ugliaglianza). Viceversa, dato un sottoinsieme I di {1, . . . , n} e una famiglia {ri}i∈I di numeri
positivi, se r è il loro minimo e �v� < r , allora |v|i ≤ �v� < r ≤ ri per ogni i ∈ I . Dunque
(0) . Pertanto gli intorni dell’origine nelle due topologie sono gli stessi.
Br(0) ⊆ �
i∈I Bi ri
2.5. Siccome, per λ > 0 , x/λ ∈ Br(0) se e solo se �x�/r < λ , si ha subito mink Br(0)(x) =
inf{λ > 0 : x/λ ∈ Br(0)} = �x�/r . Dunque la famiglia F in esame è costituita dalle norme
� · �r = � · �/r al variare di r > 0 ed è chiaro che F e � · � danno la stessa topologia.
2.7. Sia I un intorno di 0 . Siano α0 > 0 e J intorno di 0 tali che αv ∈ I per ogni v ∈ J e
ogni α ∈ K verificante |α| ≤ α0 . Sia δ > 0 tale che δB ⊆ J . Allora, per ogni v ∈ B e α come
sopra, si ha αδv ∈ I . Ma ciò significa cv ∈ I per ogni v ∈ B e c ∈ K verficante |c| ≤ α0δ , per
cui si può prendere ε0 = α0δ .
2.8. Sia I un intorno di 0 . Allora esistono δ0 > 0 e un intorno J di 0 tali che δv0 + v ∈ I per
ogni δ ∈ (0, δ0) e v ∈ J . Sia ε0 > 0 , dato dall’Esercizio 2.7, tale che εB ⊆ J per ogni ε ∈ (0, ε0) .
Scegliamo ε > 0 tale che ε < min{ε0, δ0} . Allora, per ogni v ∈ B , si ha εv ∈ J e quindi anche
ε(v0 + v) = εv0 + εv ∈ I . Ma ciò significa ε(v0 + B) ⊆ I .
2.9. Per l’Esercizio 2.8 basta dimostrare la prima parte. Sia {vn} infinitesima e sia I un intorno
di 0 . Allora esiste m tale che xn ∈ I per ogni n > m . Siano ε0 > 0 e J intorno di 0 tali
che εv ∈ I per ogni ε ∈ (0, ε0) e v ∈ J , così che εvn ∈ I per ogni ε ∈ (0, ε0) e n > m .
Per i = 1, . . . , m sia εi > 0 tale che εvi ∈ I per ogni ε ∈ (0, εi) . Allora basta scegliere ε > 0
verificante ε < εi per i = 0, 1, . . . , m per avere εvn ∈ I per ogni n .
2.11. Sia B limitato. Se p ∈ F allora I = B p
1 (0) è un intorno di 0 per cui esiste r > 0 tale
che B ⊆ rI = B p r (0) , cioè tale che p(v) < r per ogni v ∈ B . Viceversa, ogni p ∈ F si mantenga
limitata su B e sia I un intorno di 0 . Possiamo supporre I = ∩m i=1Bpi r (0) per certe pi ∈ F e un
certo r > 0 . Per i = 1, . . . , m sia ci > 0 tale che pi(v) < ci per ogni v ∈ B . Se c = maxi ci ,
allora pi(v) < c per ogni v ∈ B , cioè v/c ∈ I per ogni v ∈ B , vale a dire B ⊆ cI .
2.12. Scelto un intorno convesso C ⊆ I , basta prendere un intorno J ⊆ C che è aperto convesso
equilibrato e assorbente dato dal Lemma 2.3, dopo di che J è anche limitato.
2.13. Se V è normabile, la palla unitaria nella norma è un intorno di 0 con le caratteristiche
volute. Viceversa, sia V localmente convesso e sia C un intorno limitato di 0 . Possiamo supporre
che C sia anche aperto convesso ed equilibrato grazie all’Esercizio 2.12. Sia � · � = minkC :
allora � · � è una seminorma e ora dimostriamo che, più precisamente, è una norma che induce la
topologia data. Sia quest’ultima generata dalla famiglia separata F di seminorme e sia x ∈ V
tale che �x� = 0 . Allora esiste una successione {λn} positiva infinitesima tale che x/λn ∈ C
per ogni n . Fissata p ∈ F ad arbitrio, p si mantiene limitata sul limitato C , per cui esiste una
costante c tale che p(x/λn) ≤ c per ogni n . Segue subito che p(x) = 0 . Dunque p(x) = 0
per ogni p ∈ F e x = 0 , così che � · � è una norma. Inoltre, grazie alle proprietà generali dei
funzionali di Minkowski, abbiamo che C = B1(0) , la palla unitaria nella norma. Dimostriamo
infine che � · � induce la topologia data. Che Bε(0) = εC sia un intorno di 0 è conseguenza
immediata dell’ipotesi. Viceversa, sia I un intorno di 0 : dobbiamo trovare una palla Bε(0) ⊆ I .
A questo scopo, basta scegliere ε > 0 tale che εC ⊆ I : allora Bε(0) = εC ⊆ I .
2.14. Un’implicazione è ovvia. Supponiamo che esista un aperto non vuoto e limitato C . Scelto
v0 ∈ C , il traslato C − v0 è un intorno limitato dell’origine e concludiamo per l’Esercizio 2.13.
3.14. Sia T0 la topologia debole. L’Esercizio 3.13 assicura che T0 rende continuo ogni elemento
di V ∗ . Per concludere, dobbiamo mostrare che, se T è una topologia che rende continuo ogni
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Gianni Gilardi