G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
Con ε = 1/4 abbiamo 1
2 �v′ � 2 ∞ ≤ 9�v� 2 ∞ + 3�v ′′ � 2 ∞ da cui facilmente la disuguaglianza voluta.
6.9. La condizione di chiusura di L diventa: dalle appartenenze vn ∈ V ∩ W per ogni n e dalle
convergenze vn → v in V e vn → w in W segue v ∈ V ∩W e w = v . E ciò è vero (l’uguaglianza
v = w si vede passando a sottosuccessioni convergenti q.o.). Dunque L è chiuso. Ma L non è
continuo. Infatti la continuità di L equivale all’esistenza di una costante M che rende vera la
disuguaglianza �v�2 ≤ M�v�1 per ogni v ∈ V ∩ W . Ora ciò è falso già nel caso Ω = (0, 1) : con
vn(t) = t n si ha infatti �vn�1 = (n + 1) −1 e �vn�2 = (2n + 1) −1/2 . Se invece consideriamo il
caso degli spazi ℓ p allora L è continuo: se infatti p < q , si ha ℓ p ⊆ ℓ q con immersione continua
(Esercizio I.5.31) per cui nel nostro caso D(L) = V e L ∈ L(V ; W ) .
7.7. i) Per la disuguaglianza di Poincaré (IV.1.19) la forma bilineare è anche coerciva su VΩ , per
cui è applicabile il Teorema di Lax-Milgram. ii) Sia v ∈ H 1 (Ω) . Allora v = (v − vΩ) + vΩ e il
primo addendo appartiene a VΩ . Si ha pertanto
�
Ω
�
(A∇u) · ∇v dx =
Ω
(A∇u) · ∇(v − vΩ) dx = 〈F, v − vΩ〉 = 〈F, v − vΩ〉 + vΩ〈f, 1〉 = 〈F, v〉.
7.8. Si usi ora la disuguaglianza di Poincaré (IV.1.20). Per il resto il discorso è identico.
7.9. i) Grazie alla (7.12), abbiamo per ogni v ∈ H 1 (Ω)
�
Ω
�
(A∇v) · ∇v dx + ε v
Ω
2 �
dx ≥ α |∇v|
Ω
2 �
dx + ε v
Ω
2 dx ≥ min{α, ε}�v� 2 1,2
per cui si applica il Teorema di Lax-Milgram. ii) Basta prendere v = 1 nella (7.15). iii) Si
sceglie v = uε nella (7.15), si usano la (7.12) e la (IV.1.19) ottenendo con una certa costante c
�uε� 2 �
1,2 ≤ c |∇uε|
Ω
2 dx ≤ c
�
α Ω
(A∇uε) · ∇uε dx ≤ c
�F �∗�uε�1,2
α
e si conclude. iv) Si applica il Teorema IV.5.1 di compattezza debole e si ottiene uεn ⇀ u in H 1 (Ω)
per una sottosuccessione opportuna (si parte da una successione infinitesima {εn} qualunque e si
estrae). Si scrive la (7.15) e si passa al limite senza difficoltà osservando, per quanto riguarda il
primo membro, che A∇uεn ⇀ A∇u in L 2 (Ω) d in quanto ∇uεn ⇀ ∇u in L 2 (Ω) d e aij ∈ L ∞ (Ω) .
7.15. Supponiamo A compatto e sia {vn} una successione limitata in V . Per la compattezza
di A esiste una sottosuccessione {vnk } tale che {Avnk } converga in W a un certo w . Allora,
dato che B è continuo, {BAvnk } converge a Bw in Z . Supponiamo ora B compatto e sia {vn}
una successione limitata in V . Siccome A è limitato, {Avn} è limitata in W . Per la compattezza
di B , la successione {BAvn} ha una sottosuccessione convergente in Z .
7.18. Supponiamo vn ⇀ v in V . Per dimostrare che Lvn → Lv è sufficiente controllare che da
ogni sottosuccessione estratta da {vn} si può estrarre ulteriormente una sottosuccessione {vnk }
tale che Lvnk → Lv . Consideriamo dunque una qualunque sottosuccessione estratta da {vn} e
denotiamola ancora con {vn} per non introdurre troppi indici. Siccome L è compatto, si può
estrarre la sottosuccessione nelle condizioni volute.
7.19. Sia {vn} una successione limitata di V . Siccome V è riflessivo, possiamo estrarre vnk ⇀ v
in V per un certo v ∈ V . Applicata l’ipotesi alla successione {vnk − v} , che converge debolmente
a 0 , deduciamo che L(vnk − v) → 0 in W , cioè che Lvnk → Lv in W .
7.20. Sia {vn} limitata in V e sia M ≥ �vn�2 per ogni n . Allora, per ogni n e per ogni
x ∈ (a, b) , abbiamo |Lvn(x)| ≤ M(b − a) 1/2 per cui {Lvn} è limitata in C0 [a, b] . D’altra parte
abbiamo anche |Lvn(x) − Lvn(y)| ≤ M|x − y| 1/2 per ogni n e per ogni x, y ∈ (a, b) , per cui
concludiamo che {Lvn} è limitata in C0,1/2 [a, b] . Per l’Esercizio 7.21, esiste una sottosuccessione
{Lvnk } convergente uniformemente a una certa w ∈ C0 [a, b] . Allora Lvnk → w anche in L2 (a, b) .
Analisi Funzionale
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