G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
Capitolo VII
3.12. L’applicazione L : V1 × V2 → V data dalla formula L(v1, v2) = v1 + v2 è lineare e continua.
L’ipotesi assicura che essa è anche iniettiva e suriettiva, dunque un isomorfismo algebrico.
Siccome tutti gli spazi coinvolti sono di Banach, anche l’applicazione inversa, grazie al Teorema
dell’applicazione aperta, è continua. Ma questa è data da L −1 v = (P1v, P2v) . Dunque P1 e P2
sono (lineari e) continui.
3.16. Sia V• = V/V0 e π : V → V• la proiezione canonica. Sia L la restrizione di π a W0 ,
che è un operatore lineare: dimostriamo che L è iniettivo e suriettivo (qui serve solo che W0 sia
un supplementare algebrico di V0 ). Se w ∈ W0 e Lw = 0 , allora w ∈ V0 . Essendo w ∈ W0
deduciamo w = 0 . Sia ora u• ∈ V• : costruiamo w ∈ W0 tale che Lw = u• . Sia u ∈ u• e sia
u = v + w la sua decomposizione con v ∈ V0 e w ∈ W0 . Allora Lw = πw = πu = u• . Ciò mostra
che L è un isomorfismo algebrico. Siccome L è anche continuo e tutti gli spazi coinvolti sono di
Banach, deduciamo che L è un isomorfismo grazie al Teorema dell’applicazione aperta. Viceversa,
sia W0 è un supplementare algebrico di V0 isomorfo a V/V0 . Siccome il quoziente è completo,
anche W0 lo è. Dunque W0 è chiuso in V .
3.17. Mostriamo che un qualunque supplementare algebrico W0 di V0 è anche supplementare
topologico. Il discorso dell’esercizio precedente dimostra che W0 è algebricamente isomorfo a V/V0 .
Siccome quest’ultimo ha dimensione finita, anche W0 ha dimensione finita. Pertanto W0 è chiuso.
6.7. L’operatore non è chiuso dato che la condizione vn ∈ D(L) per ogni n e le due convergenze
uniformi vn → v e v ′ n → w non implicano v ∈ D(L) . Si prenda ad esempio vn(x) = � x
0 (t2 +
1/n) 1/2 dt e v(x) = � x
0 |t| dt , così che vn ∈ C ∞ [0, 1] . Siccome (t 2 + 1/n) 1/2 → |t| uniformemente
in [0, 1] , abbiamo che vn → v e v ′ n → v ′ in C 0 [0, 1] . D’altra parte v �∈ C 2 [0, 1] .
6.8. L’operatore è chiuso in quanto la condizione vn ∈ D(L) per ogni n e le due convergenze
uniformi vn → v e v ′′
n → w implicano v ∈ D(L) e w = v ′′ . La dimostrazione si può fondare sulla
disuguaglianza
�v ′ �∞ ≤ M � �v�∞ + �v ′′ �∞
�
per ogni v ∈ C 2 [0, 1]
che vale per una certa costante M . Applicato ciò alle differenze vn − vm , si deduce che le due convergenze
dell’ipotesi e la completezza di C0 [0, 1] implicano che anche {v ′ n} converge uniformente
e si conclude. Resta da dimostrare la disuguaglianza scritta sopra e un modo è il seguente. Si ha
v ′ (x) = v ′ � x
(y) + v ′′ (t) dt per ogni x, y ∈ [0, 1] da cui |v ′ (x)| ≤ |v ′ (y)| + �v ′′ �1 .
y
Prendendo l’estremo superiore rispetto a x e l’integrale rispetto a y di ambo i membri si deduce
�v ′ �∞ ≤ �v ′ �1 + �v ′′ �1 da cui �v ′ � 2 ∞ ≤ 2�v ′ � 2 1 + 2�v ′′ � 2 1 ≤ 2�v ′ � 2 2 + 2�v ′′ � 2 ∞ .
D’altra parte si ha anche
�v ′ � 2 2 =
� 1
0
(v ′ (t)) 2 dt = −
e la disuguaglianza di Young elementare fornisce per ogni ε > 0
� 1
Combinando, deduciamo, sempre per ogni ε > 0
242
0
v(t) v ′′ (t) dt + [vv ′ ] 1
0 ≤ �v�∞�v ′′ �∞ + 2�v�∞�v ′ �∞
�v ′ � 2 2 ≤ 1
2 �v�2 ∞ + 1
2 �v′′ � 2 ∞ + 1
ε �v�2 ∞ + ε�v ′ � 2 ∞.
�v ′ � 2 ∞ ≤ �v� 2 ∞ + �v ′′ � 2 ∞ + 2
ε �v�2 ∞ + 2ε�v ′ � 2 ∞ + 2�v ′′ � 2 ∞ .
Gianni Gilardi