G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
misure siano finite). Allora x, y ∈ L ∞ (Ω) , �x�∞ = �y�∞ = 1 e �x + y�∞ = 2 . Dimostriamo ii) .
Se dim L 1 (Ω) ≤ 1 , allora L 1 (Ω) è ridotto a 0 oppure isometricamente isomorfo alla retta reale
R munita della norma �x� = c|x| per un qualche c > 0 e la stretta convessità vale. Supponiamo
ora L 1 (Ω) strettamente convesso. Allora non possono esistere A e B come in i) e si deduce che
M = {∅, Ω} e che µ(Ω) < +∞ (perché lo spazio è σ -finito). Se µ(Ω) = 0 allora L 1 (Ω) = {0} .
In caso contrario 1 ∈ L 1 (Ω) , ma solo le costanti sono funzioni misurabili e quindi solo le costanti
sono integrabili, cioè dim L 1 (Ω) = 1 . La dimostrazione di iii) è analoga.
6.5. Di fatto la falsità è addirittura la regola e non l’eccezione, dato che la convergenza debole
un ⇀ 0 in L 1 (R d ) è falsa per ogni u ∈ L 1 (R d ) con integrale non nullo. Infatti, pur essendo
1 ∈ L ∞ (R d ) , abbiamo
�
R d
�
1 · un dx =
R d
�
u(x + hn) dx =
Nel caso p = +∞ , poi, basta prendere u = 1 .
6.11. Supponiamo h > 0 (il caso h < 0 è analogo). Allora
� �
�
+∞
�
�
�
u(x + h) − u(x) �
0
�
e
�
−∞ |h| � dx =
−h
−(x+h)
h
= 1 − e−h
+
h
1 − e−h
� +∞
h
0
R d
e −x dx = 2c ove c = sup
t>0
u(y) dy = costante �= 0.
� +∞ |e
dx +
0
−(x+h) − e−x |
dx
h
1 − e −t
t
(= 1).
Se fosse u ∈ W 1,1 (R) , posto w = u ′ , avremmo w(x) = −e −x per q.o. x > 0 e w(x) = 0 per
q.o. x < 0 dato che u è regolare in R \ {0} . Ma, se w è data da queste formule e v ∈ C ∞ c (R) ,
risulta
� +∞ � +∞
wv dx + uv ′ � +∞
dx = (wv + uv ′ � +∞ d
) dx =
dx (e−xv(x)) dx = −v(0)
−∞
−∞
0
e concludiamo che w non è la derivata debole di u in quanto può essere v(0) �= 0 . Assurdo.
Segnaliamo che la derivata di u nel senso delle distribuzioni è w + δ , ove δ è la massa di Dirac.
8.4. Per u, v ∈ Lp (Ω) si ha subito
〈K ∗ �
u, v〉 = 〈u, Kv〉 =
� �
u(x)
� �
k(x, y) v(y) dy dx = k(x, y) u(x) v(y) dx dy
� � �
Ω
�
Ω
Ω×Ω
�
= v(y) k(x, y) u(x) dx dy = 〈w, v〉 ove w(y) = k(x, y) u(x) dx.
Ω
Ω
Dunque K ∗ è l’operatore u ↦→ w , cioè l’analogo di K ottenuto sostituendo la funzione k con la
funzione k ∗ definita da k ∗ (x, y) = k(y, x) q.o. in Ω × Ω .
8.5. Per u ∈ L q (R d ) e v ∈ L p (R d ) si ha subito
〈(T p
h )∗u, v〉 = 〈u, T p
h
�
v〉 =
R d
�
u(x) v(x + h) dx =
per cui (T p
h )∗ = T q
−h .
8.6. Per u ∈ Lq (Rd ) e v ∈ Lp (Rd ) si ha subito
〈(T p
�
�
v〉 = u(x) v(hx) dx =
240
h )∗u, v〉 = 〈u, T p
h
R d
R d
R d
0
Ω
u(x − h) v(y) dy = 〈T q
−hu, v〉
u(h −1 y) v(y) | det h −1 | dy = 〈| det h −1 | T q
h −1u, v〉
Gianni Gilardi