G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
4.16. Fissato (a, b) siano a ′ , b ′ ∈ Z tali che a ′ ≤ a e b ′ ≥ b . Allora
� b
|�u(nx)| p � b ′
dx ≤
a
a ′
|�u(nx)| p dx = 1
� nb ′
n na ′
|�u(y)| p dy = (b ′ − a ′ )
� 1
|u(y)| p dy
per cui la successione considerata, che denotiamo con {un} , è limitata. Ora distinguiamo i casi
come suggerito. i) Siccome p < +∞ , lo spazio duale è isomorfo a Lq (a, b) ove q = p ′ . Siccome
q < +∞ , C1 [a, b] è denso in Lq � b
(a, b) , per cui basta vedere che limn→∞ a unv dx = 0 per ogni
v ∈ C 1 [a, b] . Le primitive di �u sono continue. Siccome λ = 0 , esse sono anche 1 -periodiche,
dunque limitate. Fissata una di esse, che denotiamo con w , per v ∈ C 1 [a, b] si ha
� b � b
unv dx =
a
a
w ′ (nx) v(x) dx = − 1
n
� b
a
w(nx) v ′ (x) dx + 1
[w(nx) v(x)]b
n a
e il modulo dell’ultimo membro è ≤ (1/n)(�v ′ �1 + 2�v�∞)�w�∞ . Dunque l’integrale al primo
membro è infinitesimo. ii) Poniamo z = u − λ . Allora z ha media nulla e ricade nel caso
precedente. D’altra parte l’analoga �z vale �u − λ . Per ogni v ∈ L q (a, b) abbiamo pertanto
lim
n→∞
� b
a
�u(nx) v(x) −
� b
a
λ v(x) dx = lim
n→∞
� b
a
� b
(�u(nx) − λ) v(x) dx = lim
n→∞
0
a
�z(nx) v(x) dx = 0
cioè la tesi. iii) Nel caso p = 1 fissiamo v ∈ L ∞ (a, b) e dimostriamo che l’integrale di unv
converge all’integrale di λv appoggiandoci al punto precedente. Fissato ε > 0 ad arbitrio, siano
z ∈ L 2 (0, 1) tale che �z − u�1 ≤ ε e µ la sua media. Introdotte le corrispondenti zn , abbiamo
� b
� b
� b
� b
(un − λ)v dx = (un − zn)v dx + (zn − µ)v dx + (µ − λ)v dx.
a
a
Prendendo i moduli otteniamo
��
�
� b
�
�
� (un − λ)v dx�
� ≤ �un
��
�
� b
�
− zn�1�v�∞ + |µ − λ| �v�1 + �
� (zn − µ)v dx�
�
a
e l’ultimo termine è ≤ ε per n abbastanza grande. D’altra parte, con notazioni analoghe a quelle
del punto i) e con analoga procedura, abbiamo
� b
� b ′
|un − zn| dx ≤
a
a ′
|�u(nx) − �z(nx)| dx ≤ (b ′ − a ′ )
a
� 1
0
a
a
|u(y) − z(y)| dy ≤ ε(b ′ − a ′ ).
Infine |λ − µ| ≤ �u − z�1 ≤ ε e si conclude.
4.18. Siano M e t0 tali che |f(t)| ≤ M|t| per |t| ≥ t0 . Siccome f è continua, esiste N tale che
|f(t)| ≤ N per |t| ≤ t0 . Dunque |f(t)| ≤ M|t| + N per ogni t ∈ R . Segue che, se v ∈ Lp (0, 1) , si
ha |f(v(x))| ≤ M|v(x)|+N q.o. in (0, 1) , da cui F (v) ∈ Lp (0, 1) (e anche �F (v)� p p ≤ M�v� p p+N ).
Per mostrare che F è un’applicazione continua, supponiamo vn → v in Lp (0, 1) : dobbiamo dimostrare
che F (vn) → F (v) in Lp (0, 1) . Grazie alla Proposizione 1.9, basta dimostrare che da ogni
sottosuccessione {vnk } si può ulteriormente estrarre una sottosuccessione la cui immagine converge
a F (v) in L p (0, 1) . A tale scopo, estraiamo da {vnk } una sottosuccessione {vnk i } convergente a
v q.o. e verificante |vnk i | ≤ ϕ per ogni i e per una certa ϕ ∈ L p (0, 1) . Allora la sottosuccessione
immagine converge a F (v) q.o. dato che f è almeno continua. D’altra parte la disuguaglianza
vista sopra, se applicata alla sottosuccessione in questione, fornisce |F (vnk i )| ≤ Mϕ + N e dunque
garantisce l’applicabilità del Teorema di Lebesgue, da cui la convergenza in L p (0, 1) desiderata.
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Gianni Gilardi