G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
5.42. Osservazione. Gli spazi C ∞ (Ω) e C ∞ (Ω) si definiscono ponendo
C ∞ (Ω) =
∞�
k=0
C k (Ω), C ∞ b
(Ω) =
∞�
k=0
C k b (Ω) e C∞ (Ω) =
∞�
C k (Ω). (5.21)
Essi però, almeno per ora, sono solo spazi vettoriali. Topologie appropriate, infatti, saranno introdotte
molto più avanti e queste non saranno indotte da norme.
5.43. Osservazione. Per k ∈ N si introduca lo spazio
k=0
�C k (Ω) = {v|Ω : v ∈ C k b (Rd )} (5.22)
con la notazione (5.20). I suoi elementi, dunque, sono le funzioni definite in Ω che hanno un prolugamento
definito in tutto R d , continuo e limitato con le sue derivate fino all’ordine k . Chiaramente,
se Ω è limitato, lo spazio (5.22) è incluso in C k (Ω) e si pone il problema dell’uguaglianza. Questa
vale senz’altro se k = 0 (da un più generale Teorema di Tietze). Nel caso k > 0 si dimostra che
�C k (Ω) = C k (Ω) se Ω sia sufficientemente regolare (vedi la sezione data fra breve). (5.23)
Notiamo che tutto ciò può essere ripetuto nel caso k = ∞ : si ottiene lo spazio � C ∞ (Ω) delle funzioni
che hanno un prolugamento definito in tutto R d , continuo e limitato con le sue derivate di tutti gli
ordini e la (5.23) continua a valere anche in questo caso. Al contrario, se Ω è un aperto irregolare,
i due spazi C k (Ω) e � C k (Ω) sono in generale diversi, cioè possono esistere funzioni u ∈ C k (Ω) prive
di prolungamenti definiti in tutto R d nelle condizioni dette sopra, come mostra l’esempio che ora
proponiamo. Siano C = {(x, y) ∈ [0, 1] 2 : |y| ≤ x 3 } e Ω = (−1, 1) 2 \ C . Definiamo u : Ω → R
ponendo u(x, y) = x 2 se x, y > 0 e u(x, y) = 0 altrimenti. Proviamo che u ∈ C 1 (Ω) . La derivata
Dyu è nulla e la derivata Dxu è data dalle formule Dxu(x, y) = 2x se x, y > 0 e u(x, y) = 0
altrimenti. Dunque u ∈ C 1 (Ω) . D’altra parte un prolungamento continuo di u definito in Ω si
ottiene con le stesse formule che definiscono u prendendo (x, y) più in generale in Ω e lo stesso
discorso vale per Dxu . Quindi u ∈ C 1 (Ω) . Notiamo ora che tale funzione, pur avendo derivate
prime continue e limitate, non è lipschitziana. Infatti, per x ∈ (0, 1) , i punti z± = (x, ±2x 3 )
appartengono ad Ω e risulta |u(z+) − u(z−)|/|z+ − z−| = 1/(4x) . Da ciò deduciamo che u non
può avere prolungamenti di classe C 1 definiti in tutto R 2 . Infatti un eventuale prolungamento
di questo tipo sarebbe lipschitziano in ogni convesso limitato di R 2 , in particolare in [−1, 1] 2 ,
e quindi la sua esistenza implicherebbe anche la lipschitzianità di u , il che non è.
5.44. Osservazione. Se k > 0 e Ω è un aperto irregolare, lo spazio � C k (Ω) è non solo diverso
da C k (Ω) , ma in generale anche non chiuso in C k (Ω) . Ciò avviene, ad esempio, nel caso trattato
nell’Osservazione 5.43, come ora mostriamo conservando le notazioni là introdotte. Fissiamo ζ ∈
C 1 (R) verificante ζ(t) = 0 se t ≤ 0 e ζ(t) = 1 se t ≥ 1 e, per ε ∈ (0, 1) , costruiamo uε come
segue. Per (x, y) ∈ R 2 poniamo wε(x, y) = ((x − ε) + ) 2 ζ(2 − x) ζ(y/ε 3 ) , così che wε ∈ C 1 b (R2 ) ,
e prendiamo uε = wε|Ω , così che uε ∈ � C 1 (Ω) . Mostriamo che uε converge a u in C 1 (Ω) per
ε → 0 . Sia (x, y) ∈ Ω . Si noti che x < 1 , per cui ζ(2 − x) = 1 e uε(x, y) = ((x − ε) + ) 2 ζ(y/ε 3 ) .
Se ora x ≤ 0 oppure y < 0 , allora uε(x, y) = 0 = u(x, y) e valgono le analoghe identità per le
derivate parziali. Se x ∈ (0, ε] e y > 0 , allora uε(x, y) = 0 e quindi
|uε(x, y) − u(x, y)| = x 2 ≤ ε 2 ≤ ε e |Dxuε(x, y) − Dxu(x, y)| = 2x ≤ 2ε
e anche Dyuε(x, y) = 0 = Dyu(x, y) , banalmente. Infine, se x > ε e y > 0 , si ha y > ε 3 , da cui
ζ(y/ε 3 ) = 1 , per cui abbiamo ancora Dyuε(x, y) = 0 = Dyu(x, y) e le stime
|uε(x, y)−u(x, y)| = x 2 −(x−ε) 2 = 2ε(x−ε) ≤ 2ε e |Dxuε(x, y)−Dxu(x, y)| = 2x−2(x−ε) = 2ε.
Concludiamo che la norma di uε − u in C 1 (Ω) è O(ε) .
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Gianni Gilardi