G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
Capitolo III
1.8. Se f = 0 tutte le condizioni sono vere, dunque equivalenti. Sia f �= 0 . La iv) implica le
altre tre. Vediamo che ciascuna di queste implica la continuità. Fissato y0 tale che f(y0) �= 0 ,
cercando x0 del tipo x0 = λy0 con λ ∈ R , troviamo x0 tale che f(x0) = α . Allora le condizioni
x ∈ Sα , x ∈ Iα e x ∈ S ′ α equivalgono rispettivamente all’appartenenza di x − x0 agli insiemi S0 ,
I0 e S ′ 0 . Siccome V è vettoriale topologico, vediamo che, ad esempio, Sα è chiuso se e solo se S0
lo è. Dunque ci siamo ricondotti al caso α = 0 . Ma allora l’implicazione ii) =⇒ iv) è già nota
(Proposizione 1.7) e le altre due si dimostrano in modo analogo.
1.22. Il primo punto è immediato. Sia S la somma della serie: verifichiamo che S(I − A) = I .
Se v ∈ V si ha per ogni n
� n�
k=0
A k
�
(I − A)v =
n�
A k v −
k=0
n�
A k+1 v = v − A n+1 v.
Ma il primo membro converge a S(I − A)v in V per n → ∞ e il secondo converge a v dato che
�A n+1 v� ≤ �A� n+1 �v� e �A� < 1 . Analogamente si vede che (I − A)S = I . Dunque I − A è un
isomorfismo algebrico e S è il suo inverso. Infine entrambi gli operatori I − A e S sono continui.
1.24. Siccome e−|λ| ≤ e−λx ≤ e |λ| per ogni x ∈ [0, 1] , la norma � · �λ
massimo. Per u ∈ V , si definisca Au mediante la formula
� x
equivale alla norma del
(Au)(x) = k(x, y) u(y) dy, x ∈ [0, 1].
0
Allora Au ∈ V . Resta così definito l’operatore A : V → V , che risulta lineare, e la (1.5) si scrive
come (I − A)u = f . Per concludere, basta mostrare che A è anche continuo e trovare λ che rende
< 1 la norma di A , la norma in L(V ; V ) essendo quella indotta dalla norma � · �λ di V . Usiamo
dunque sistematicamente la norma � · �λ , ora con λ > 0 . Per u ∈ V e x ∈ [0, 1] si ha
k=0
� x
|(Au)(x)| ≤ |k(x, y)|e λy e −λy � x
|u(y)| dy ≤ M�u�λ
0
ove abbiamo posto M = sup T |k| . Deduciamo che
|e −λx 1 − e
(Au)(x)| = M�u�λ
−λx
λ
0
e λy e
dy = M�u�λ
λx − 1
λ
≤ M
λ �u�λ da cui �Au�λ ≤ M
λ �u�λ .
Ciò mostra che A è limitato e che �A� ≤ M/λ . Basta dunque scegliere λ > M per concludere.
3.5. Posto V = L p w(Ω) , q = p ′ e Z = L q w(Ω) , scriviamo le due formule
�
�
〈f, v〉 = zvw dµ per ogni v ∈ V e 〈f, v〉 = uv dµ per ogni v ∈ V .
Ω
La prima stabilisce un isomorfismo isometrico f ↔ z fra V ∗ e Z e il problema posto consiste
nel vedere in quale spazio X del tipo L q
∗(Ω) lasciar variare u in modo che la corrispondenza fra
w
f ∈ V ∗ e u ∈ X stabilita dalla seconda formula sia un isomorfismo isometrico fra V ∗ e X . Dato
quanto abbiamo detto riguardo alla prima formula, la scelta obbligata è la seguente
X = {zw : z ∈ Z} e �u�X = �z�q,w se z ∈ Z e u = zw
e il problema si sposta nella caratterizzazione di X e di � · �X . Per u = zw con z ∈ Z si ha
�z� q �
q,w = |z| q �
w dµ = |u| q w 1−q �
dµ = |u| q w ∗ dµ = �u� q
q,w∗ 234
Ω
Ω
Ω
Ω
Gianni Gilardi