G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

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Appendice Capitolo II 1.7. Sia v ∈ V : dimostriamo che v ∈ W . Sia {vn} una successione di elementi di V0 convergente a v in V . In particolare {vn} è una successione di Cauchy in V0 . Siccome l’immersione di V0 in W è continua, esiste M tale che �z�W ≤ M�z�V per ogni z ∈ V0 . Segue che {vn} è di Cauchy anche in W . Siccome W è completo, {vn} converge in W a un certo elemento w ∈ W . Siccome le immersioni di V e di W in Z sono continue, le successione {vn} converge in Z sia a v sia a w . Per l’unicità del limite in Z concludiamo che v = w ∈ W . Siccome �vn�W ≤ M�vn�V per ogni n , deduciamo inoltre che �v�W ≤ M�v�V . Per l’arbitrarietà di v ∈ V , tutto ciò assicura sia che V ⊆ W sia la continuità dell’immersione di V in W . 2.3. Lo spazio già noto è B(R) e l’isomorfismo è dato da v ↦→ ϕv . 2.12. Usiamo le notazioni dell’esempio citato. Se p = 2 la formula (u, v) = � |α|≤k � D Ω α u Dαv dx + � |α|=k � (rσD Ω×Ω α u)(x, y) (rσDαv)(x, y) dx dy |x − y| d definisce un prodotto scalare che induce la norma voluta, per cui W s,2 (Ω) è prehilbertiano. Per quanto riguarda la completezza per ogni p , ordiniamo in qualche modo i multi-indici di ordine ≤ k , e sia N il loro numero, e quelli di ordine k , e sia N0 il loro numero. A ogni v ∈ W s,p (Ω) associamo la coppia ({D α v} |α|≤k, {rσD α v} |α|=k) , che appartiene a W = L p (Ω) N ×L p (Ω×Ω, µ) N0 , ove l’ultimo simbolo denota lo spazio costruito nell’esempio citato: otteniamo un isomorfismo (isometrico se W è munito della norma ad hoc) di W s,p (Ω) su un sottospazio W0 dello spazio completo W . La completezza voluta segue allora se dimostriamo che W0 è chiuso. Si ha precisamente W0 = {({vα} |α|≤k, {ρα} |α|=k) ∈ W : vα = D α v0 per |α| ≤ k , ρα = rσD α v per |α| = k }. Se ora wn = ({vα,n} |α|≤k, {ρα,n} |α|=k) ∈ W0 per ogni n e wn → w = ({vα} |α|≤k, {ρα} |α|=k) in W , allora vα,n → vα in L p (Ω) per |α| ≤ k e ρα,n → ρα in L p (Ω × Ω, µ) per |α| = k . Per la completezza di W k,p (Ω) abbiamo v0 ∈ W k,p (Ω) e vα = D α v0 per |α| ≤ k . Sia ora α tale che |α| = k : per concludere basterà dimostrare che ρα = rσD α v0 . Ma tutto si riduce a controllare il fatto seguente: se un → u in L p (Ω) e rσun → ρ in L p (Ω × Ω, µ) , allora ρ = rσu q.o. in Ω × Ω , ove “q.o.” è inteso indifferentemente rispetto alla misura µ o a quella di Lebesgue. Per verificare ciò estraiamo, con due estrazioni successive, una sottosuccessione verificante unk → u q.o. in Ω e rσunk → ρ q.o. in Ω × Ω . Ma la prima delle due convergenze implica rσunk → rσu q.o. in Ω × Ω per cui concludiamo che ρ = rσu q.o. in Ω × Ω . 2.13. Ci limitiamo alla completezza del primo spazio. L’applicazione di W p div (Ω) nello spazio W = Lp (Ω) d × Lp (Ω) definita da u ↦→ (u, div u) , ove naturalmente div u è la divergenza debole di u , è un isomorfismo isometrico di W p div (Ω) sul sottospazio W0 di W costituito dalle coppie (u, w) ∈ W verificanti la I.(5.50). Ma la dimostrazione del fatto che W0 è chiuso in W è immediata: nella I.(5.50), infatti, si passa al limite senza problemi con convergenze di tipo Lp . 3.17. Dimostriamo la continuità dell’inclusione di V0 in W . Se p = 1 basta usare la formula fondamentale del calcolo � x v(x) = v(y) + v ′ (t) dt da cui � |v(x)| ≤ |v(y)| + R |v ′ (t)| dt y e integrando rispetto a y su un intervallo limitato, ad esempio su (0, 1) , si deduce � 1 � |v(x)| ≤ |v(y)| dy + |v ′ (t)| dt da cui �v�∞ ≤ �v�1 + �v ′ �1 . 0 R Se p ∈ (1, +∞) usiamo la stessa procedura ma con |v| p anziché con v . In ambito reale abbiamo |v(x)| p = |v(y)| p � x + p |v(t)| p−1 (sign v(t)) v ′ (t) dt ≤ |v(y)| p � + p |v(t)| p−1 |v ′ (t)| dt 232 y R Gianni Gilardi
Appendice con la convenzione 0 p−1 sign 0 = 0 . Per funzioni complesse si arriva alla stessa disuguaglianza finale, ma con una diversa formula per la derivata di |v| p , derivata il cui modulo è comunque maggiorato da p |v| p−1 |v ′ | : infatti occorre sostituire p |v| p−1 (sign v)v ′ con p |v| p−2 Re(vv ′ ) . Osservato che |v| p−1 ∈ L p′ (R) , usiamo le disuguaglianze di Hölder e di Young. Otteniamo |v(x)| p ≤ |v(y)| p + p �|v| p−1 �p ′�v′ �p = |v(y)| p + p �v� p/p′ p �v ′ �p ≤ |v(y)| p + p p ′ �v�p p + �v ′ � p p . Integrando rispetto a y su un intervallo limitato ancora si ottiene la disuguaglianza voluta. Per quanto riguarda la formula fondamentale del calcolo, basta scriverla con approssimanti regolari e poi passare al limite. 3.18. Usando anche la disuguaglianza di Hölder otteniamo � � � � x |v(y) − v(x)| = � � v ′ � (t) dt� � y ≤ |y − x|1/p′ �v ′ �p . Dunque v è hölderiana di esponente α = 1/p ′ e la sua costante di Hölder risulta ≤ �v ′ �p . 3.20. Osserviamo che |G(r)| ≤ |G(0)| + L|r| e |G ′ (r)| ≤ L per ogni r ∈ R , ove L è la costante di Lipschitz di G . Segue che G(u) ∈ L p (Ω) (si noti: anche nel caso in cui Ω non è limitato se G(0) = 0 ) e che G ′ (u)Diu ∈ L p (Ω) . Siano ora un ∈ C 1,p (Ω) convergenti a u in W 1,p (Ω) . Possiamo supporre un → u e Diun → Diu anche q.o. Sia v ∈ C ∞ c (Ω) . Allora per ogni n risulta e deduciamo che � � Ω G ′ � (un) Diun v dx = Ω G Ω ′ (u) Diu v dx = − � DiG(un) v dx = − G(un) Div dx Ω � Ω G(u) Div dx calcolando i limiti del primo e dell’ultimo membro. Posto q = p ′ per semplificare la notazione, per quanto riguarda il primo abbiamo � Ω |G ′ (un) Diun v − G ′ � � (u) Diu v| dx ≤ L |Diun − Diu| |v| dx + |G Ω Ω ′ (un) − G ′ (u)| |Diu v| dx e passiamo facilmente al limite in quanto Diun → Diu in Lp (Ω) , v ∈ Lq (Ω) , G ′ (un) → G(u) q.o., |G ′ (un) − G ′ (u)| ≤ 2L , Diu v ∈ L1 (Ω) . Analogamente, e più facilmente, si tratta l’altro limite. 3.22. Si ha subito uv ∈ Lr (Ω) e vDiu + uDiv ∈ Lr (Ω) per la disuguaglianza di Hölder. Siano ora un ∈ C1,p (Ω) e vn ∈ C1,q (Ω) convergenti a u e a v in W 1,p (Ω) e W 1,q (Ω) rispettivamente. Allora per ogni n e per i = 1, . . . , d vale la formula di Leibniz, da cui � � � − unvnDiϕ dx = Di(unvn) ϕ dx = (vnDiun ϕ + unDivn ϕ) dx Ω Ω Ω per ogni ϕ ∈ C ∞ c (Ω) . Ma ciascuno dei prodotti al primo e all’ultimo membro converge in L 1 (Ω) grazie alle convergenze dell’ipotesi e al fatto che ϕ e Diϕ appartengono a Lr′ (Ω) in quanto limitate e a supporto compatto. Pertanto possiamo passare al limite e ottenere � � − uvDiϕ dx = Ω (vDiu + uDiv)ϕ dx Ω per ogni ϕ ∈ C∞ c (Ω) il che dice che vDiu + uDiv è la derivata debole di uv per i = 1, . . . , d . Analisi Funzionale 233
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Gianni Gilardi Analisi Funzionale (
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11 Funzioni convesse . . . . . . .
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Capitolo 1 Norme e prodotti scalari
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Norme e prodotti scalari Supponiamo
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Norme e prodotti scalari 5.45. Aper
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Norme e prodotti scalari Dimostrazi
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Norme e prodotti scalari da p (dipe
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5.60. Osservazione. Lo spazio W p N
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asta scegliere M = � Norme e prod
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6. Alcune costruzioni canoniche Nor
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Norme e prodotti scalari del prodot
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Capitolo 2 associa la N -upla delle
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Capitolo 2 3. Completamenti di spaz
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Capitolo 2 in W k,p (Ω) . In part
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Capitolo 2 che controllare la densi
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Capitolo 3 Operatori e funzionali R
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Operatori e funzionali 1.11. Defini
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2. Lo spazio duale Operatori e funz
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Operatori e funzionali Si noti che,
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Capitolo 4 Per meglio chiarire la d
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Capitolo 5 Dimostrazione. Consideri
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Capitolo 5 4.6. Definizione. Sia V
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Capitolo 5 Segnaliamo che, in situa
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Capitolo 5 Per comodità diciamo ch
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Capitolo 5 5.12. Teorema. Sia V uno
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Capitolo 5 6.9. Osservazione. Il ca
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Capitolo 5 Dunque z ∈ A . Siccome
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Capitolo 5 Dimostrazione. L’epigr
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Capitolo 5 Fissiamo ora y ∈ D(ϕ)
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Capitolo 6 Spazi riflessivi Nel cap
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Spazi riflessivi norma | · |pk (di
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Inoltre w è di classe C 1 e per og
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Page 252: Appendice Precisamente la prima val
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