G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
Capitolo II
1.7. Sia v ∈ V : dimostriamo che v ∈ W . Sia {vn} una successione di elementi di V0 convergente
a v in V . In particolare {vn} è una successione di Cauchy in V0 . Siccome l’immersione di V0 in
W è continua, esiste M tale che �z�W ≤ M�z�V per ogni z ∈ V0 . Segue che {vn} è di Cauchy
anche in W . Siccome W è completo, {vn} converge in W a un certo elemento w ∈ W . Siccome
le immersioni di V e di W in Z sono continue, le successione {vn} converge in Z sia a v sia
a w . Per l’unicità del limite in Z concludiamo che v = w ∈ W . Siccome �vn�W ≤ M�vn�V per
ogni n , deduciamo inoltre che �v�W ≤ M�v�V . Per l’arbitrarietà di v ∈ V , tutto ciò assicura sia
che V ⊆ W sia la continuità dell’immersione di V in W .
2.3. Lo spazio già noto è B(R) e l’isomorfismo è dato da v ↦→ ϕv .
2.12. Usiamo le notazioni dell’esempio citato. Se p = 2 la formula
(u, v) = �
|α|≤k
�
D
Ω
α u Dαv dx + �
|α|=k
�
(rσD
Ω×Ω
α u)(x, y) (rσDαv)(x, y)
dx dy
|x − y| d
definisce un prodotto scalare che induce la norma voluta, per cui W s,2 (Ω) è prehilbertiano. Per
quanto riguarda la completezza per ogni p , ordiniamo in qualche modo i multi-indici di ordine ≤ k ,
e sia N il loro numero, e quelli di ordine k , e sia N0 il loro numero. A ogni v ∈ W s,p (Ω) associamo
la coppia ({D α v} |α|≤k, {rσD α v} |α|=k) , che appartiene a W = L p (Ω) N ×L p (Ω×Ω, µ) N0 , ove l’ultimo
simbolo denota lo spazio costruito nell’esempio citato: otteniamo un isomorfismo (isometrico se W
è munito della norma ad hoc) di W s,p (Ω) su un sottospazio W0 dello spazio completo W . La
completezza voluta segue allora se dimostriamo che W0 è chiuso. Si ha precisamente
W0 = {({vα} |α|≤k, {ρα} |α|=k) ∈ W : vα = D α v0 per |α| ≤ k , ρα = rσD α v per |α| = k }.
Se ora wn = ({vα,n} |α|≤k, {ρα,n} |α|=k) ∈ W0 per ogni n e wn → w = ({vα} |α|≤k, {ρα} |α|=k) in W ,
allora vα,n → vα in L p (Ω) per |α| ≤ k e ρα,n → ρα in L p (Ω × Ω, µ) per |α| = k . Per la
completezza di W k,p (Ω) abbiamo v0 ∈ W k,p (Ω) e vα = D α v0 per |α| ≤ k . Sia ora α tale che
|α| = k : per concludere basterà dimostrare che ρα = rσD α v0 . Ma tutto si riduce a controllare il
fatto seguente: se un → u in L p (Ω) e rσun → ρ in L p (Ω × Ω, µ) , allora ρ = rσu q.o. in Ω × Ω ,
ove “q.o.” è inteso indifferentemente rispetto alla misura µ o a quella di Lebesgue. Per verificare
ciò estraiamo, con due estrazioni successive, una sottosuccessione verificante unk → u q.o. in Ω e
rσunk → ρ q.o. in Ω × Ω . Ma la prima delle due convergenze implica rσunk → rσu q.o. in Ω × Ω
per cui concludiamo che ρ = rσu q.o. in Ω × Ω .
2.13. Ci limitiamo alla completezza del primo spazio. L’applicazione di W p
div (Ω) nello spazio W =
Lp (Ω) d × Lp (Ω) definita da u ↦→ (u, div u) , ove naturalmente div u è la divergenza debole di u ,
è un isomorfismo isometrico di W p
div (Ω) sul sottospazio W0 di W costituito dalle coppie (u, w) ∈
W verificanti la I.(5.50). Ma la dimostrazione del fatto che W0 è chiuso in W è immediata:
nella I.(5.50), infatti, si passa al limite senza problemi con convergenze di tipo Lp .
3.17. Dimostriamo la continuità dell’inclusione di V0 in W . Se p = 1 basta usare la formula
fondamentale del calcolo
� x
v(x) = v(y) + v ′ (t) dt da cui
�
|v(x)| ≤ |v(y)| +
R
|v ′ (t)| dt
y
e integrando rispetto a y su un intervallo limitato, ad esempio su (0, 1) , si deduce
� 1
�
|v(x)| ≤ |v(y)| dy + |v ′ (t)| dt da cui �v�∞ ≤ �v�1 + �v ′ �1 .
0
R
Se p ∈ (1, +∞) usiamo la stessa procedura ma con |v| p anziché con v . In ambito reale abbiamo
|v(x)| p = |v(y)| p � x
+ p |v(t)| p−1 (sign v(t)) v ′ (t) dt ≤ |v(y)| p �
+ p |v(t)| p−1 |v ′ (t)| dt
232
y
R
Gianni Gilardi