G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
Capitolo I
3.5. Da |�x� − �y�| ≤ �x − y� segue che la norma è lipschitziana.
3.6. Si ha
|(xn, yn) − (x, y)| ≤ |(xn − x, yn)| + |(x, yn − y)| ≤ �xn − x��yn� + �x��yn − y�
e la tesi segue dato che �yn� tende a �y� per l’Esercizio 3.5.
3.15. Si ha �x� = �x · 1� = |x|�1� , cioè �x� = c|x| con c = �1� > 0 . Viceversa, è ovvio che una
formula di quel tipo definisce una norma.
4.6. Sia A l’interno di C e siano x, y ∈ A e ϑ ∈ (0, 1) : dobbiamo dimostrare che il punto
z = ϑx + (1 − ϑ)y appartiene ad A . Siano I ′ e I ′′ intorni di 0 tali che x + I ′ ⊆ C e y + I ′′ ⊆ C
e sia I = I ′ ∩ I ′′ . Allora x + I ⊆ C e y + I ⊆ C e ora verifichiamo che z + I ⊆ C . Se v ∈ I si
ha infatti z + v = ϑ(x + v) + (1 − ϑ)(y + v) ∈ C .
Per la seconda parte dell’esercizio conviene osservare che, in generale, grazie alle proprietà di
spazio vettoriale topologico, vale quanto segue: i) per ogni intero positivo n l’applicazione di
K n × V n in V che a (c1, . . . , cn, v1, . . . , vn) associa � n
i=1 civi è continua; ii) in particolare, per
ogni (c1, . . . , cn) ∈ K n fissato, l’applicazione di V n in V che a (v1, . . . , vn) associa � n
i=1 civi è
continua.
Detto ciò, torniamo all’esercizio. Sia B la chiusura di C e siano x, y ∈ A e ϑ ∈ (0, 1) :
dobbiamo dimostrare che il punto z = ϑx + (1 − ϑ)y appartiene a B . Sia I un intorno di 0 :
dimostriamo che z + I interseca C applicando la proprietà generale di continuità appena vista
considerando il punto (0, 0) ∈ V 2 e i due valori c1 = ϑ e c2 = 1 − ϑ . Siano dunque J1 e J2 due
intorni di 0 tali che ϑu + (1 − ϑ)v ∈ I per ogni u ∈ J1 e v ∈ J2 . Siccome x, y ∈ B , troviamo due
punti x ′ , y ′ ∈ C verificanti x ′ ∈ x + J1 e y ′ ∈ y + J2 . Sia z ′ = ϑx ′ + (1 − ϑ)y ′ e dimostriamo che
z ′ ∈ C∩(z+I) . Si ha z ′ ∈ C dato che C è convesso. D’altra parte z ′ −z = ϑ(x ′ −x)+(1−ϑ)(y ′ −y) .
Dunque z ′ − z ∈ I dato che x ′ − x ∈ J1 e y ′ − y ∈ J2 .
4.7. Sia x ∈ co A : dobbiamo trovare un intorno I di 0 tale che x + I ⊆ co A . Siano ϑi ≥ 0
e xi ∈ A , i = 1, . . . , n , tali che �n i=1 ϑi = 1 e �n i=1 ϑixi = x . Siccome A è aperto, per
i = 1, . . . , n esistono intorni Ii di 0 tali che xi + Ii ⊆ A . Sia I la loro intersezione e controlliamo
che x + I ⊆ co A . Se v ∈ I si ha infatti x + v = �n i=1 ϑi(xi + v) ∈ co A .
5.9. Verifichiamo solo che è un minimo il secondo membro della (5.5). Per definizione di estremo
inferiore esiste una successione reale {Mn} convergente a �v�∞ e tale che, per ogni n , risulti
|v(x)| ≤ Mn q.o. Siano quindi An insiemi di misura nulla tali che |v(x)| ≤ Mn per ogni x �∈ An
e sia A la loro unione. Allora, per ogni x �∈ A , si ha |v(x)| ≤ Mn per ogni n da cui anche
|v(x)| ≤ �v�∞ . Ma anche A ha misura nulla, per cui |v(x)| ≤ �v�∞ q.o.
5.20. Ragioniamo per induzione su n : dobbiamo dimostrare che, per ogni n ≥ 2 , vale quanto
espresso nell’enunciato qualunque siano gli esponenti e le funzioni in gioco. Iniziamo da n = 2 .
Se uno degli esponenti è infinito la tesi è ovvia. Consideriamo il caso opposto e osserviamo che,
posto qi = pi/q per i = 1, 2 , risulta qi ∈ [1, +∞) e (1/q1) + (1/q2) = 1 . Siano ora vi ∈ L pi (Ω)
e poniamo wi = |vi| q . Allora wi ∈ L qi (Ω) e possiamo applicare la disuguaglianza di Hölder.
Deduciamo che w1w2 ∈ L1 (Ω) e che �w1w2�1 ≤ �w1�q1�w2�q2 . Ma ciò coincide con la tesi.
Supponiamo ora n ≥ 2 e che l’enunciato sia vero: fissati ad arbitrio p1, . . . , pn+1, q ∈ [1, +∞]
tali che �n+1 i=1 (1/pi) = 1/q e vi ∈ Lpi (Ω) , dobbiamo dimostrare che il prodotto v = v1 · . . . · vn+1
appartiene a Lq (Ω) e che la sua norma è stimata come deve essere. Osserviamo che la formula
1/r = �r i=1 (1/pi) definisce r ∈ [1, +∞] e che risulta (1/r)+(1/pn+1) = 1/q . Allora, per l’ipotesi
di induzione, la funzione w = v1 · . . . · vn appartiene a L r (Ω) e si ha �w�r ≤ � n
i=1
�vi�pi . Per
concludere basta allora applicare la parte già dimostrata relativa al caso di due fattori alle due
funzioni w e vn+1 e ai tre esponenti r , pn+1 e q .
5.21. Posto p∗ = p/ϑ , r∗ = r/(1 − ϑ) , v1 = |v| ϑ e v2 = |v| 1−ϑ , basta osservare che |v| = v1v2 e
applicare l’Esercizio 5.20 a v1 e v2 e agli esponenti p∗ , r∗ e q .
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Gianni Gilardi