G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
3.2. Definizione. Sia (X, �) un insieme parzialmente ordinato. Un sottoinsieme non vuoto C
di X è detto catena quando per ogni x, y ∈ C risulta x � y o y � x . L’insieme parzialmente
ordinato (X, �) è detto induttivo quando, per ogni catena C di X , esiste m ∈ X tale che x � m
per ogni x ∈ C . Un elemento m ∈ X è detto massimale quando, per ogni x ∈ X , da m � x
segue m = x .
Se S ⊆ X e l’elemento m ∈ X verifica x � m per ogni x ∈ S , si dice che m è un maggiorante
del sottoinsieme S . Un elemento massimale m di X non è necessariamente un maggiorante di X :
esso verifica x � m solo per gli x ∈ X con i quali esso è confrontabile.
3.3. Teorema (Lemma di Zorn). Ogni insieme parzialmente ordinato induttivo ha almeno un
elemento massimale.
3.4. Osservazione. Il Lemma di Zorn è controverso, in quanto esso è equivalente al cosiddetto
Assioma della scelta. Diamo qui due possibili versioni di tale assioma. Una è la seguente:
Se X è un insieme non vuoto, esiste f : 2 X \ {∅} → X tale che
f(S) ∈ S per ogni S ∈ 2 X \ {∅} .
La funzione f , dunque, seleziona in ogni S ⊆ X non vuoto un elemento. L’altra versione riguarda
una famiglia di insiemi che può non esaurire la famiglia dei sottoinsiemi non vuoti di un insieme
assegnato e suona come segue:
Sia {Ai : i ∈ I} una famiglia non vuota di insiemi non vuoti e sia A = �
i∈I Ai l’unione
degli insiemi della famiglia. Allora esiste f : I → A tale che f(i) ∈ Ai per ogni i ∈ I .
Anche in questo caso, la funzione f seleziona un punto in ciascuno degli Ai . Una tale funzione è
detta funzione di scelta relativa alla famiglia data. Ricordato che, secondo una possibile definizione,
il prodotto cartesiano degli insiemi della famiglia data è esattamente l’insieme delle funzioni di
scelta, la seconda versione dell’Assioma della scelta si può rienunciare come segue: il prodotto
cartesiano di una famiglia non vuota di insiemi non vuoti non è vuoto.
Il fatto che l’Assioma della scelta non sia accettato con leggerezza deriva dal fatto che esso
implica enunciati che possono lasciare sconcertati, e il più famoso è il Paradosso di Banach-Tarski,
che può essere espresso così:
è possibile decomporre una palla di R 3 in un numero finito di parti e poi
ricomporre le parti in modo da formare due palle identiche alla prima.
In termini precisi, esistono una partizione {S1, . . . , Sn} della palla B1(0) di R 3 in un numero finito
n di sottoinsiemi e altrettante isometrie dirette f1, . . . , fn tali che la famiglia {f1(S1), . . . , fn(Sn)}
costituisca una partizione dell’unione di due palle ancora di raggio 1 e fra loro disgiunte.
L’aspetto paradossale di questa affermazione poggia in realtà su di un pregiudizio. Siamo
inclini a pensare, infatti, che esista una misura additiva, invariante per isometrie, definita su tutta
la famiglia dei sottoinsiemi di R 3 . Ora il paradosso assicura che questa misura non esiste, e la
validità di questa affermazione dipende dal fatto che si accetti l’Assioma della scelta.
4. Soluzioni di alcuni esercizi
In questo paragrafo diamo una possibile traccia delle soluzioni di numerosi degli esercizi proposti
nei vari capitoli, ma non di tutti. Infatti alcuni di essi, particolarmente semplici o simili ad altri già
risolti, non sono presi in considerazione. Nei casi effettivamente trattati diamo più spesso soluzioni
dettagliate. Talora, invece, ci limitiamo a un’indicazione.
Le soluzioni sono raggruppate in capitoli e ciascuna di esse inizia semplicemente con il numero
dell’esercizio al quale essa si riferisce. La notazione usata per le citazioni è coerente con quella
precedente: se essa inizia con un numero romano, questo indica il capitolo e le citazioni senza
numeri romani si riferiscono al capitolo in corso.
Analisi Funzionale
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