G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
2.24. Osservazione. Nel caso reale può essere conveniente accettare anche il valore +∞ fra
quelli che f può assumere. Se f : Ω → (−∞, +∞] diciamo che essa è misurabile quando l’insieme
Ω∞ = {x ∈ Ω : f(x) = +∞} è misurabile e f| Ω\Ω∞ è misurabile in Ω \ Ω∞ nel senso già noto.
Se f è misurabile e f − è integrabile, definiamo l’integrale di f come segue: i) esso ha il valore
consueto se µ(Ω∞) = 0 e f + è integrabile nel senso precedente; ii) l’integrale di f è +∞ quando
si verifica una delle due circostanze: µ(Ω∞) > 0 oppure µ(Ω∞) = 0 ma f + non è integrabile.
Notiamo che, se f − non è integrabile, rinunciamo, per semplicità, a definire l’integrale di f . Resta
inteso che si tiene conto di tale estensione in alcuni dei risultati successivi, ad esempio nel Teorema
di Beppo Levi, quando può non essere vero che le funzioni in questione assumono solo valori finiti.
Ora, tralasciando la linearità dell’integrale e l’integrabilità sui sottoinsiemi, richiamiamo in
modo molto succinto alcuni dei risultati più importanti della teoria.
2.25. Teorema. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito e f : Ω → K una funzione misurabile.
Allora sono equivalenti le condizioni: i) f è integrabile; ii) |f| è integrabile; iii) esiste
ϕ : Ω → [0, +∞) integrabile tale che |f| ≤ ϕ q.o.
2.26. Teorema. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito e {fn} una successione di
funzioni fn : Ω → K misurabili. Se {fn} converge q.o. a una funzione f , allora anche f è
misurabile.
2.27. Teorema (di Severini-Egorov). Siano (Ω, M, µ) uno spazio di musura finito e {fn}
una successione di funzioni misurabili convergente q.o. alla funzione f . Allora {fn} converge a f
quasi uniformemente nel senso seguente: per ogni ε > 0 esiste Ωε ∈ M tale che µ(Ω \ Ωε) ≤ ε e
{fn} converge a f uniformemente in Ωε .
2.28. Teorema (di Lebesgue, della convergenza dominata). Siano (Ω, M, µ) uno spazio
di misura σ -finito e {fn} una successione di funzioni fn : Ω → K integrabili. Se {fn} converge
q.o. a una funzione f e se esiste una funzione ϕ : Ω → [0, +∞) integrabile tale che
|f(x)| ≤ ϕ(x) q.o. per ogni n , allora
�
f è integrabile, lim
n→∞
Ω
|f − fn| dµ = 0 e
�
Ω
f dµ = lim
n→∞
�
fn dµ.
Ω
(2.6)
2.29. Teorema (di Beppo Levi, della convergenza monotona). Siano (Ω, M, µ) uno
spazio di misura σ -finito e {fn} una successione di funzioni fn : Ω → R integrabili tale che,
per q.o. x ∈ Ω , la successione {fn(x)} sia non decrescente. Definito f(x) ∈ (f1(x), +∞] per
q.o. x ∈ Ω mediante la formula f(x) = limn→∞ fn(x) , si ha
�
�
Ω
f dµ = lim
n→∞
fn dµ. (2.7)
Ω
In particolare f è integrabile se e solo se è limitata la successione degli integrali delle fn .
2.30. Teorema (Lemma di Fatou). Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito e {fn}
una successione di funzioni fn : Ω → [0, +∞) integrabili. Si ponga f(x) = lim infn→∞ fn(x) per
x ∈ Ω . Allora f è misurabile e risulta
�
�
Ω
f dµ ≤ lim inf
n→∞
fn dµ. (2.8)
Ω
In particolare f è integrabile non appena sia limitata la successione degli integrali delle fn .
2.31. Teorema. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito, f : Ω → K una funzione
integrabile. Allora sono equivalenti le condizioni seguenti: i) f(x) = 0 q.o.; ii) �
Ω |f| dµ = 0 .
Se poi lo spazio è quello dato dal Teorema 2.7 a partire da una misura definita sul semianello S ,
è equivalente alle precedenti anche la condizione: iii) �
f dµ = 0 per ogni S ∈ S .
Analisi Funzionale
S
227