G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Norme e prodotti scalari
Supponiamo ora 1 ≤ p < q = +∞ . Fissato r ∈ (p, +∞) , definiamo v : Ω → R esattamente come sopra.
Procedendo analogamente vediamo che v ∈ Lp (Ω) . D’altra parte, essendo {µnk } infinitesima, la successione
{µ −1/r
nk } non è limitata, per cui v �∈ L∞ (Ω) .
5.37. Osservazione. Sottolineiamo che i casi i) e iii) escludono che Ω sia l’unione di un
numero finito di atomi. Inoltre, nel caso iii) e solo in quello, esiste una funzione u ∈ L ∞ (Ω) tale
che �u�∞ = 1 e |u(x)| < 1 q.o. in Ω . Tale funzione, infatti, non può esistere nei casi i) e ii) ;
d’altra parte, nel caso iii) , considerata una successione {ωn} di insiemi misurabili, di misura
positiva e mutuamente disgiunti (la cui esistenza è garantita nella dimostrazione), per soddisfare
quanto richiesto basta definire v : Ω → R mediante le condizioni seguenti: v(x) = 1 − 1/n se
x ∈ ωn , ciò per n = 1, 2, . . . ; v(x) = 0 se x non appartiene ad alcuno degli ωn .
Consideriamo ora spazi legati all’operazione di derivazione. Conviene introdurre una notazione.
Sia Ω un aperto di R d . Se α = (α1, . . . , αd) è un vettore, detto multi-indice in questo contesto,
con componenti intere non negative poniamo
|α| =
d�
αi e D α =
i=1
∂x α1
1
∂ |α|
. . . ∂xαd
d
. (5.18)
Notiamo che la notazione D α v è sensata se v è una funzione regolare, in modo che l’ordine delle
derivazioni sia inessenziale.
5.38. Esempio (funzioni differenziabili con continuità). Siano Ω un aperto limitato di
R d e k un intero non negativo. Ricordando l’Esempio 5.5, poniamo
C k (Ω) = {v : Ω → K di classe C k } e C k (Ω) = {v ∈ C k (Ω) : D α v ∈ C 0 (Ω) per |α| ≤ k }
e muniamo C k (Ω) della norma
�v� = max
|α|≤k �Dα v�∞ = max
|α|≤k sup |Dα v|. (5.19)
Lo spazio normato che si ottiene non è prehilbertiano. Conviene anche osservare un fatto, in
connessione con l’ultima frase dell’Esempio 5.5: se v ∈ C k (Ω) , |α| ≤ k e x0 ∈ ∂Ω , ha senso
considerare il “valore” D α v(x0) . A rigore la funzione D α v è definita solo in Ω ; tuttavia essa ha
un unico prolungamento continuo in Ω . Allora D α v(x0) è il valore in x0 di tale prolungamento.
5.39. Esercizio. Dimostrare che una norma in Ck (Ω) equivalente a quella definita sopra è
data dalla formula �v� = �
|α|≤k�Dαv�∞ . Sebbene l’equivalenza delle due norme possa essere
facilmente dimostrata in modo diretto, consigliamo il lettore di seguire anche la strada seguente.
Si ordinino i multi-indici α tali che |α| ≤ k (in un modo qualunque ma fissato) così che l’insieme
di tali indici sia visto in realtà come una N -upla, ove N è il numero di multi-indici in questione.
Fatto ciò, per v ∈ Ck (Ω) , si vedano le due norme di v da prendere in considerazione come le norme
|y|1 e |y|∞ (vedi (5.1)) del vettore y ∈ KN la cui componente α -esima è �Dαv�∞ e si sfrutti il
Teorema 3.20. Questa ottica è spesso produttiva. Usando la (5.17) si trovi un’intera famiglia di
norme in Ck (Ω) equivalenti alla (5.19).
5.40. Esercizio. Sia V0 il sottospazio di C k [a, b] costituito dalle funzioni v verificanti
v (j) (a) = 0 per 0 ≤ j < k . Verificare che la norma in V0 definita da �v� = �v (k) �∞ è equivalente
a quella indotta dalla (5.19). Dedurre che pure è equivalente a quella ciascuna delle norme
in V0 definite da �v�S = maxj∈S�v (j) �∞ ove S è un sottoinsieme di {0, . . . , k} che contiene k .
5.41. Esercizio. Siano Ω è un aperto qualunque di R d e k ∈ N e si introduca lo spazio
C k b (Ω) = {v ∈ Ck (Ω) : D α v ∈ Cb(Ω) per |α| ≤ k } (5.20)
costituito dalle funzioni continue e limitate con le derivate fino all’ordine k (vedi l’Esempio 5.3).
Si dimostri che esso è completo rispetto alla norma definita ancora dalla (5.19). Si dimostri inoltre
che, se Ω è limitato, lo spazio Ck (Ω) è un sottospazio chiuso di Ck b (Ω) .
Analisi Funzionale
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