G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
2.5. Definizione. Uno spazio di misura è una terna (Ω, M, µ) ove: i) Ω è un insieme non
vuoto; ii) M è una σ -algebra di sottoinsiemi di Ω ; iii) µ è una misura in Ω avente M come
dominio; iv) per ogni coppia di sottoinsiemi A, B ⊆ Ω vale l’implicazione: se A ⊆ B , B ∈ M e
µ(B) = 0 allora A ∈ M . Gli elementi di M si chiamano sottoinsiemi misurabili di Ω .
2.6. Osservazione. Spesso già nella definizione di misura si richiede che il dominio di µ sia
una σ -algebra. Noi abbiamo invece richiesto sono che esso sia un semianello. Inoltre, nella Definizione
2.5, abbiamo imposto la condizione iv) detta di completezza della misura. Talora questa
non viene richiesta. Ma ciò fa poca differenza, grazie al risultato enunciato di seguito.
2.7. Teorema. Siano Ω un insieme non vuoto e µ0 una misura in Ω avente come dominio un
semianello S ⊆ 2 Ω . Allora esiste una e una sola misura µσ definita sulla σ -algebra σ(S) che
prolunga µ0 . Sia inoltre M = σ(M0 ∪ σ(S)) ove M0 è la famiglia costituita dai sottoinsiemi
A ⊆ Ω aventi la proprietà seguente: esiste B ∈ σ(S) tale che B ⊇ A e µσ(B) = 0 . Allora esiste
una e una sola misura µ : M → [0, +∞] che prolunga µσ e che rende (Ω, M, µ) uno spazio di
misura nel senso della Definizione 2.5.
2.8. Osservazione. Dunque, a partire da un semianello S e da una misura definita solo in S ,
è sempre possibile costruire uno spazio di misura nel senso della Definizione 2.5. Aggiungiamo che
gli insiemi misurabili dello spazio (Ω, M, µ) fornito dal teorema sono caratterizzati dalla proprietà
seguente: un sottosinsieme A ⊆ Ω appartiene a M se e solo se esistono B ∈ σ(S) e A0 ∈ M0
tali che A = B ∪ A0 . Inoltre, in tali condizioni, si ha µ(A) = µσ(B) .
2.9. Osservazione. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura e Ω ′ ∈ M . Allora resta definito in
modo canonico lo spazio di misura (Ω ′ , M ′ , µ ′ ) come segue: M ′ è costituito dagli elementi di M
che sono inclusi in Ω ′ e µ ′ è la restrizione di µ a M ′ . Effettivamente ciò che si ottiene è uno
spazio di misura. Resta inteso che, quando si considera un sottoinsieme misurabile, si pensa di
costruire su questo lo spazio di misura come detto sopra. Ciò, in particolare, consente di parlare di
funzioni misurabili o integrabili (vedi i richiami tra breve) anche su sottoinsiemi misurabili.
2.10. Osservazione. Una possibile definizione della misura di Lebesgue in R d si ottiene come
segue: si applica il Teorema 2.7 a partire dal semianello R dei rettangoli di R d e dalla misura
µ0 : R → [0, +∞) definita per via elementare. Denotato con (R d , L(R d ), L d ) lo spazio di misura
ottenuto, diciamo che un sottoinsieme A ⊆ R d è misurabile secondo Lebesgue quando A ∈ L(R d ) .
In tali condizioni L d (A) è la sua misura di Lebesgue. Notiamo che σ(R) = B(R d ) e che, per
l’ultima parte dell’Osservazione 2.8, un sottoinsieme A ⊆ R d è misurabile secondo Lebesgue se e
solo se esistono un insieme di Borel B ⊆ A tale che A \ B è incluso in un insieme di Borel di
misura nulla. Se poi Ω è un aperto di R d (o più in generale un sottoinsieme misurabile secondo
Lebesgue), si costruisce lo spazio di misura su Ω come detto nell’Osservazione 2.9.
2.11. Proposizione. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura e {An} una successione di insiemi
misurabili. Allora valgono le proprietà seguenti di monotonia di µ
i) µ(A) = lim
n→∞ µ(An) se An ⊆ An+1 per ogni n e A =
∞�
An ;
ii) µ(A) = lim
n→∞ µ(An) se An ⊇ An+1 per ogni n, µ(A1) < +∞ e A =
2.12. Definizione. Si dice che lo spazio di misura (Ω, M, µ) è finito quando la misura di Ω
è finita e che esso è σ -finito quando esiste una successione {Ωn} di insiemi misurabili di misura
finita tale che Ω = � ∞
n=1 Ωn .
2.13. Osservazione. Se Ω è un insieme con vuoto, possiamo considerare lo spazio di misura
(Ω, 2 Ω , #) ove #(A) è il numero di elementi di A se A è finito e #(A) = +∞ se A è infinito.
Effettivamente si ottiene uno spazio di misura e # è detta misura che conta. Lo spazio è σ -finito
se e solo se Ω è al più numerabile.
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n=1
∞�
n=1
An .
Gianni Gilardi