G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
1.25. Teorema. Siano (S, d) uno spazio metrico e S0 un suo sottoinsieme. Se S0 è completo
rispetto alla metrica indotta allora esso è un sottoinsieme chiuso. Se (S, d) è completo e S0 è
chiuso, allora S0 è completo rispetto alla metrica indotta.
1.26. Definizione. Siano (S, d) e (S ′ , d ′ ) due spazi metrici e A un sottoinsieme di S . Una
funzione f : A → S ′ è uniformemente continua quando per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che, per
ogni x, y ∈ A valga l’implicazione: da d(x, y) ≤ δ segue d ′ (f(x), f(y)) ≤ ε .
1.27. Proposizione. Siano (S, d) e (S ′ , d ′ ) due spazi metrici, A ⊆ S e f : A → S ′ . Se f è
uniformemente continua e (S ′ , d ′ ) è completo, allora esiste una e una sola F : A → S ′ continua
che prolunga f , ove A è la chiusura di A , cioè il minimo chiuso che include A .
1.28. Definizione. Siano (S, d) uno spazo metrico e f : S → S . Si dice che f è una contrazione
(stretta) quando esiste α < 1 tale che d(f(x), f(y)) ≤ α d(x, y) per ogni x, y ∈ S e si dice che un
punto x ∈ S è un punto fisso di f quando f(x) = x .
1.29. Teorema (delle contrazioni, di Banach). Siano (S, d) uno spazo metrico completo e
f : S → S una contrazione. Allora f ha uno e un solo punto fisso.
1.30. Osservazione. Si arriva alla stessa conclusione se si suppone che, anziché f , sia una
contrazione almeno una delle iterate di f , ove per iterata di f si intende un elemento della
successione {f n } definita per induzione dalle condizioni f 1 = f e f n+1 = f n ◦ f per ogni n ≥ 1 .
2. Misure e integrali
In questo paragrafo riassumiamo le definizioni e i risultati principali della teoria astratta della
misura e dell’integrazione. Citiamo inoltre alcuni risultati complementari cui facciamo riferimento
nei capitoli precedenti.
2.1. Definizione. Sia Ω un insieme non vuoto. Una σ -algebra di sottoinsiemi di Ω è una
famiglia M ⊆ 2 Ω verificante le proprietà seguenti: i) ∅ ∈ M ; ii) da A ∈ M segue Ω \ A ∈ M ;
iii) se {An} è una successione di elementi di M , allora � ∞
n=1 An ∈ M .
2.2. Definizione. Sia F una famiglia di sottoinsiemi di un insieme non vuoto Ω . La minima
σ -algebra σ(F) di sottoinsiemi di Ω che include F è detta σ -algebra generata da F .
Naturalmente la condizione di minimalità della definizione precedente è intesa rispetto alla
relazione di inclusione fra sottoinsiemi di 2 Ω . Si dimostra che la σ -algebra generata da F effettivamente
esiste ed è unica. Nel caso in cui Ω è un aperto di R d , la σ -algebra generata dalla
famiglia degli aperti si chiama algebra di Borel di Ω . Essa è comunemente denotata con B(Ω) e i
suoi elementi sono detti insiemi di Borel. Si dimostra che B(Ω) è generata anche: i) dalla famiglia
dei compatti K ⊆ Ω ; ii) dalla famiglia dei chiusi C ⊆ Ω ; iii) dalla famiglia dei rettangoli
R ⊆ Ω ; iv) dalla famiglia dei rettangoli aperti R ⊆ Ω ; v) dalla famiglia dei rettangoli compatti
R ⊆ Ω . Potremmo inoltre proseguire. Naturalmente per rettangolo di R d si intende il prodotto
cartesiano di d intervalli limitati, eventualmente degeneri.
2.3. Definizione. Sia Ω un insieme non vuoto. Un semianello di sottoinsiemi di Ω è una
famiglia S ⊆ 2Ω verificante le condizioni seguenti: i) ∅ ∈ S ; ii) da A, B ∈ S segue A ∩ B ∈ S ;
iii) da A, B ∈ S segue che esistono S1, . . . , Sn
disgiunti tali che A \ B =
elementi di S in numero finito e a due a due
�n k=1 Sk .
2.4. Definizione. Sia Ω un insieme non vuoto. Un’applicazione µ : S → [0, +∞] è detta
misura in Ω quando: i) S è un semianello di sottoinsiemi di Ω ; ii) µ è σ -additiva, cioè,
per ogni A ∈ S e per ogni successione {An} di elementi di S a due a due disgiunti tale che
A = � ∞
n=1 An , risulta
Analisi Funzionale
µ(A) =
∞�
µ(An). (2.1)
n=1
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