G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
1.16. Definizione. Uno spazio topologico (S, A) nel senso della Definizione 1.2 è compatto
quando, per ogni famiglia F ⊆ A che ricopre S , esiste una famiglia finita F ′ ⊆ F che ancora
ricopre S . Un sottoinsieme di S è compatto quando esso è uno spazio topologico compatto rispetto
alla topologia indotta. Lo spazio S è compatto per successioni o sequenzialmente compatto quando
ogni successione di elementi di S ha una sottosuccessione convergente a un elemento di S .
1.17. Proposizione. Uno spazio topologico S è compatto se e solo se, per ogni famiglia F di
chiusi di S , vale l’implicazione seguente: se ogni famiglia finita F ′ ⊆ F ha intersezione non vuota,
allora anche F ha intersezione non vuota.
1.18. Definizione. Un sottoinsieme S0 di uno spazio topologico S è relativamente compatto
quando la sua chiusura è compatta ed è relativamente compatto per successioni quando la sua
chiusura è compatta per successioni.
1.19. Teorema. Sia S uno spazio topologico. Se S è compatto, ogni suo sottoinsieme chiuso
è compatto. Se S è di Hausdorff, ogni suo sottoinsieme compatto è anche chiuso.
Uno spazio topologico compatto può non essere sequenzialmente compatto e uno spazio topologico
sequenzialmente compatto può non essere compatto. Tuttavia
1.20. Teorema. Se uno spazio topologico S è metrizzabile, allora esso è compatto se e solo se
è compatto per successioni e un suo sottoinsieme S0 è relativamente compatto se e solo se esso è
relativamente compatto per successioni. Inoltre, se d è una metrica che induce la topologia di S ,
se S è compatto, allora, per ogni δ > 0 , esistono punti x1, . . . , xp ∈ S in numero finito tali che
l’unione delle palle Bδ(xi) , i = 1, . . . , p , sia tutto S .
L’ultima proprietà si esprime dicendo che lo spazio metrico (S, d) è totalmente limitato e, più
precisamente, si ha che S è compatto se e solo se (S, d) è completo e totalmente limitato.
1.21. Proposizione. Sia (S, d) uno spazio metrico. Se C e K sono un chiuso e un compatto
di S disgiunti, allora la loro distanza dist(C, K) è strettamente positiva, cioè esiste δ > 0 tale
che d(x, y) ≥ δ per ogni x ∈ C e y ∈ K .
Ricordiamo che, se {Aλ : λ ∈ Λ} è una famiglia di insiemi, il prodotto cartesiano �
λ∈Λ Aλ
della famiglia data è l’insieme P delle funzioni x : Λ → �
λ∈Λ Aλ tali che x(λ) ∈ Aλ per ogni
λ ∈ Λ . Per x ∈ P e λ ∈ Λ usiamo indifferentemente la notazione x(λ) oppure xλ .
1.22. Definizione. Sia {(Sλ, Tλ) : λ ∈ Λ} una famiglia non vuota di spazi topologici. La
topologia prodotto delle topologie date è l’unica topologia nel prodotto cartesiano P = �
λ∈Λ Sλ
nella quale, per ogni x ∈ P , è una base di intorni la famiglia Bx dei sottoinsiemi di P definita
dalla condizione seguente:
un sottoinsieme B ⊆ P appartiene a Bx se e solo se esso può essere rappresentato nella
forma B = �
λ∈Λ Iλ ove, per ogni λ ∈ Λ , Iλ è un intorno di xλ in Tλ e Iλ �= Sλ al
più per un numero finito di elementi λ ∈ Λ .
Si verifica poi che si ottiene la stessa topologia se si impone agli intorni Iλ di xλ di appartenere
ad una base fissata di intorni di xλ nella topologia Tλ .
Così, ad esempio, se Λ = {1, 2} , una base di intorni di x = (x1, x2) ∈ S1 × S2 è data da tutti
i prodotti I1 × I2 ove Ij varia in una base di intorni di xj per j = 1, 2 .
1.23. Teorema (di Tychonoff). Il prodotto topologico di una famiglia non vuota di spazi
topologici compatti è uno spazio topologico compatto.
Richiamiamo ancora qualche proprietà degli spazi metrici.
1.24. Definizione. Sia (S, d) uno spazio metrico. Una successione {xn} di elementi di S è
detta di Cauchy quando per ogni ε > 0 esiste un indice m tali che per ogni n, k ≥ m risulti
d(xn, xk) ≤ ε . Lo spazio metrico è completo quando ogni sua successione di Cauchy converge.
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Gianni Gilardi