G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
1.10. Definizione. Siano (S, I) e (S ′ , I ′ ) due spazi topologici nel senso della Definizione 1.1,
f : S → S ′ e x0 ∈ S . La funzione f è continua in x0 quando, per ogni I ∈ I ′ (f(x0)) , esiste
J ∈ I(x0) tale che f(J) ⊆ I ed è continua per successioni (o sequenzialmente continua) in x0
quando {f(xn)} converge a f(x0) in S ′ ogni volta che {xn} converge a x0 in S . La funzione f
è continua quando è continua in ogni punto di S ed è continua per successioni quando è continua
per successioni in ogni punto di S .
La continuità in x0 si può riscrivere in modo formalmente identico interpretando I(x0) e
I ′ (f(x0)) come basi di intorni dei due punti nei due spazi.
1.11. Teorema. Siano S e S ′ due spazi topologici e f : S → S ′ . Allora la funzione f è
continua se e solo se, per ogni sottoinsieme A ′ aperto (chiuso) di S ′ , l’insieme f −1 (A ′ ) è un
aperto (risp. chiuso) di S .
1.12. Proposizione. Siano S e S ′ due spazi topologici, f : S → S ′ e x0 ∈ S . Se f è continua
in x0 , allora f è continua per successioni in x0 . Se x0 ha una base numerabile di intorni, allora
f è continua in x0 se e solo se essa è continua per successioni in x0 .
Segnaliamo un altro risultato che fa intervenire le basi numerabili di intorni.
1.13. Proposizione. Siano S uno spazio topologico e C ⊆ S . Se C è chiuso, vale la condizione
seguente: i) se {xn} è una successione di elementi C , x è un punto di S e {xn} converge a x ,
allora x ∈ C . Se lo spazio topologico S è a basi numerabili di intorni, tale condizione è anche
sufficiente perché C sia chiuso.
1.14. Definizione. Siano S un insieme non vuoto e T e T ′ due topologie su S . Diciamo
che T è meno fine di T ′ (oppure che T ′ è più fine di T ) quando l’applicazione identica di S è
continua da (S, T ′ ) in (S, T ) .
La condizione espressa nella definizione può essere riformulata in vari modi equivalenti: i) ogni
aperto in T è aperto in T ′ ; i) ogni chiuso in T è chiuso in T ′ ; iii) per ogni x ∈ S , ogni intorno
di x in T è un intorno di x in T ′ ; iv) per ogni x ∈ S , se Bx è una base di intorni di x
in T , ogni elemento di Bx è un intorno di x in T ′ ; v) per ogni x ∈ S , se Bx e B ′ x sono due
basi di intorni di x in T e in T ′ rispettivamente, ogni elemento di Bx contiene un elemento
di B ′ x . Infine, se entrambe le topologie sono a basi numerabili di intorni, una ulteriore condizione
equivalente è data da: vi) da xn → x in T ′ segue xn → x in T .
1.15. Definizione. Sia S un insieme non vuoto. Una metrica in S è una funzione d : S 2 → R
che, per ogni x, y, z ∈ S , verifica le condizioni: i) d(x, y) ≥ 0 ; ii) d(x, y) = 0 se e solo se x = y ;
iii) d(x, y) = d(y, x) ; iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) . Uno spazio metrico è una coppia (S, d) ove
S è un insieme non vuoto e d è una metrica in S . Se (S, d) è uno spazio metrico, x ∈ S e r > 0 ,
l’insieme Br(x) = {y ∈ S : d(x, y) < r} si chiama palla di centro x e raggio r . La topologia
indotta in S dalla metrica d è quella tale che, per ogni x ∈ S , la famiglia Bx = {Br(x) : r > 0}
è una base di intorni di x . Uno spazio topologico è metrizzabile quando esiste una metrica che ne
induce la topologia.
Ricordiamo che più metriche possono indurre la stessa topologia e che ogni spazio metrizzabile è
a basi numerabili di intorni, ma non viceversa. Ricordiamo inoltre che, se S è uno spazio topologico
(metrico) e S ′ è un suo sottoinsieme non vuoto, S ′ ha una struttura naturale di spazio topologico
(risp. metrico), detta indotta da quella dello spazio di partenza.
Se X e Y sono due sottoinsiemi non vuoti di uno spazio metrico (S, d) e se x0 ∈ S , le
distanze di X da Y e di x0 da Y sono definite dalle formule
dist(X, Y ) = inf{d(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } e dist(x0, Y ) = dist({x0}, Y ). (1.5)
La funzione x ↦→ dist(x, Y ) , x ∈ S , è continua da S in R . Precisamente
| dist(x1, Y ) − dist(x2, Y )| ≤ d(x1, x2) per ogni x1, x2 ∈ S .
Ricordiamo che una famiglia ricopre un insieme S oppure è un ricoprimento di S quando
l’unione dei suoi elementi include S .
Analisi Funzionale
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