G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
cioè dicendo che A è un aperto se e solo se esso è un intorno di ogni suo punto. Viceversa, assegnato
lo spazio topologico (S, A) nel senso della Definizione 1.2, si ottiene uno spazio topologico nel senso
della Definizione 1.1 definendo l’applicazione I come segue
per ogni x ∈ S, un sottoinsieme I di S appartiene a I(x) se e solo se
esiste A ∈ A tale che x ∈ A e I ⊇ A (1.2)
cioè dicendo che gli intorni del generico x ∈ S sono i soprainsiemi degli aperti che contengono x .
Accade poi che, se (S, I) è uno spazio topologico nel senso della Definizione 1.1, se si costruisce
lo spazio tipologico (S, A) nel senso della Definizione 1.2 usando la procedura (1.1) e se a (S, A)
si applica la procedura (1.2), lo spazio topologico nel senso della Definizione 1.1 che si ottiene
coincide con quello di partenza. Un’affermazione analoga vale poi quando si scambiano i ruoli delle
due definizioni e delle due procedure. L’equivalenza delle Definizioni 1.2 e 1.3 si ottiene come segue
data A si pone C = {C ⊆ S : S \ C ∈ A}; (1.3)
data C si pone A = {A ⊆ S : S \ A ∈ C}. (1.4)
dicendo cioè che gli aperti e i chiusi sono i complementari gli uni degli altri.
Per quanto riguarda i modi di dire spesso si scrivono semplicemente frasi del tipo sia S uno
spazio topologico, senza evidenziare la topologia nella notazione. Se poi si vuole proprio sottolineare
una topologia particolare, si può dire più precisamente sia (S, T ) uno spazio topologico, ove T
“è la topologia”, senza necessariamente precisare che T sia, ad esempio, la famiglia A degli aperti
oppure la funzione I che assegna le famiglie degli intorni dei vari punti. Così almeno ci siamo
comportati noi nei capitoli precedenti.
1.4. Definizione. Siano (S, T ) uno spazio topologico e x0 ∈ S . Una base di intorni di x0 è
una famiglia B0 ⊆ 2 S che verifica le due proprietà seguenti: i) ogni B ∈ B0 è un intorno di x0 ;
ii) ogni intorno di x0 contiene almeno un elemento di B0 .
1.5. Proposizione. Siano S un insieme non vuoto e B : S → 22S . Perché esista una topologia
su S nella quale, per ogni x ∈ S , la famiglia B(x) sia una base di intorni di x è necessario e
sufficiente che, per ogni x ∈ S , valgano le condizioni seguenti:
i) B(x) �= ∅ e x ∈ B per ogni B ∈ B(x)
ii) per ogni B1, B2 ∈ B(x) esiste B ∈ B(x) tale che B ⊆ B1 ∩ B2
iii) per ogni B ∈ B(x) esiste J ⊆ B tale che, per ogni y ∈ J, esista B ′ ∈ B(y) tale che B ′ ⊆ J.
Inoltre, se tali condizioni sono soddisfatte, la topologia è unica ed è individuata dalla condizione:
per ogni x ∈ S e I ⊆ S , I è un intorno di x se e solo se esiste B ∈ B(x) tale che B ⊆ I .
1.6. Definizione. Uno spazio topologico è a basi numerabili di intorni quando ogni suo punto
ha una base di intorni al più numerabile.
1.7. Definizione. Uno spazio topologico S è di Hausdorff quando, per ogni coppia di punti
distinti x, y ∈ S , esistono un intorno di x e un intorno di y fra loro disgiunti.
1.8. Definizione. Sia S uno spazio topologico. Una successione {xn} di elementi di S converge
all’elemento x ∈ S quando, per ogni intorno I di x , esiste un indice m tale che xn ∈ I per ogni
n ≥ m .
La convergenza può essere espressa in modo equivalente lasciando I arbitrario in una base
fissata di intorni di x . Se S è di Hausdorff vale l’unicità del limite. Segnaliamo la condizione
(necessaria e) sufficiente per la convergenza nel risultato dato di seguito.
1.9. Proposizione. Siano S uno spazio topologico, {xn} una successione di elementi di S e
x ∈ S . Se da ogni sottosuccessione estratta da {xn} si può ulteriormente estrarre una sottosuccessione
convergente a x , allora la successione data converge a x .
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Gianni Gilardi