G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Appendice
Questa appendice contiene qualche richiamo che torna comodo nelle citazioni fatte nei vari
capitoli, senza alcuna pretesa di completezza, e le soluzioni di alcuni degli esercizi proposti.
1. Spazi topologici e metrici
La definizione formale di spazio topologico può essere data in vari modi. Infatti la topologia è nota
quando sono note le famiglie degli intorni dei vari punti, la famiglia degli aperti, la famiglia dei
chiusi, la famiglia delle funzioni continue a valori in un altro spazio topologico fissato, eccetera, e
la scelta di come formalizzare la definizione dipende dai gusti e da ciò che maggiormante si vuole
sottolineare. In discorsi di Topologia Generale si usa più spesso considerare la famiglia degli aperti.
Al contrario, in Analisi Funzionale è in generale più comodo trattare con gli intorni, anzi con basi
di intorni. Iniziamo allora il paragrafo dando tre definizioni e un cenno sulla loro equivalenza.
1.1. Definizione. Uno spazio topologico è una coppia (S, I) ove S è un insieme non vuoto e
I : S → 22S è un’applicazione verificante, per ogni x ∈ S , le proprietà seguenti:
i) I(x) �= ∅ e x ∈ I per ogni I ∈ I(x)
ii) da J ∈ I(x) e J ⊆ I ⊆ S segue I ∈ I(x)
iii) da I, J ∈ I(x) segue I ∩ J ∈ I(x)
iv) per ogni I ∈ I(x) esiste J ∈ I(x) tale che J ⊆ I e J ∈ I(y) per ogni y ∈ J.
Se x ∈ S , gli elementi di I(x) si chiamano intorni di x .
1.2. Definizione. Uno spazio topologico è una coppia (S, A) ove S è un insieme non vuoto e
A è un sottoinsieme di 2 S verificante le proprietà seguenti:
i) ∅ ∈ A e S ∈ A
ii) da A1, A2 ∈ A segue A1 ∩ A2 ∈ A
iii) da Aλ ∈ A per ogni λ ∈ Λ segue �
λ∈Λ
Aλ ∈ A.
ove Λ è un qualunque insieme di indici. Gli elementi di A si chiamano aperti.
1.3. Definizione. Uno spazio topologico è una coppia (S, C) ove S è un insieme non vuoto e
C è un sottoinsieme di 2 S verificante le proprietà seguenti:
i) ∅ ∈ C e S ∈ C
ii) da C1, C2 ∈ C segue C1 ∪ C2 ∈ C
iii) da Cλ ∈ C per ogni Λ segue �
λ∈Λ
Cλ ∈ C.
ove Λ è un qualunque insieme di indici. Gli elementi di C si chiamano chiusi.
Le tre definizioni sono equivalenti nel senso che ora precisiamo. Assegnato lo spazio topologico
(S, I) nel senso della Definizione 1.1, si ottiene uno spazio topologico nel senso della Definizione 1.2
definendo A come segue
A ∈ A se e solo se A ∈ 2 S
e per ogni x ∈ A A ∈ I(x) (1.1)