G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
per cui possiamo prendere ψ = |ϕ| . Sia ora ψ ∈ L p
per semplificare e con la convenzione sign 0 = 0 , abbiamo u ∈ L q
loc (Ω) , ψ sign u ∈ Lp
loc (Ω) e
|L −1 �
�
f|ψ = |u|ψ = ψ |u| dx = (ψ sign u) u dx = 〈f, ψ sign u〉 = |〈f, ψ sign u〉|
Ω
Ω
loc (Ω) . Per ogni f ∈ Lp c(Ω) ∗ , posto u = L −1 f
per cui possiamo prendere ϕ = ψ sign u . Sia ora L : L q
loc (Ω) → Lp c(Ω) ∗ il secondo isomorfismo
della Proposizione 4.38 e mostriamo che L e L −1 sono operatori continui se il duale L p c(Ω) ∗ di
L p c(Ω) è munito della topologia generata dalla famiglia di seminorme definita come segue
|f|∗,K = sup{|〈f, v〉| : v ∈ L p c(Ω), �v�p ≤ 1, v = 0 in Ω \ K} per f ∈ L p c(Ω) ∗
al variare del compatto K ⊂ Ω .
La verifica è semplice. Infatti, se f ∈ L p c(Ω) ∗ e u ∈ L q
loc (Ω) sono associati tramite la (4.12), cioè
sono tali che f = Lu o in modo equivalente u = L−1f , per ogni compatto K ⊂ Ω abbiamo
�
�
uv dx�
: v ∈ L p �
(K), �v�p ≤ 1 = �u|K�q = |u|q,K
���� �
|f|∗,K = sup
K
così che L e L −1 stabiliscono addirittura una corrispondenza biiettiva fra le seminorme delle due
famiglie.
4.40. Osservazione. Siccome L p c(Ω) è un sottospazio vettoriale di L p (Ω) , avremmo potuto
considerare la topologia indotta su L p c(Ω) da L p (Ω) . Avremmo trovato uno spazio normato, che
denotiamo con Vp , ben diverso dallo spazio dell’Esempio 4.37 che non è nemmeno metrizzabile.
Il suo duale V ∗
p sarebbe stato isomorfo a L q (Ω) , l’isomorfismo essendo ancora dato dalla for-
mula (4.12), che ora farebbe corrispondere f ∈ V ∗
p e u ∈ L q (Ω) . Infatti L p c(Ω) è denso in L p (Ω) ,
per cui gli elementi di V ∗
p sono tutte e sole le restrizioni a Vp degli elementi di L p (Ω) ∗ e il Teorema
di Riesz permette di concludere. Per chiarire ulteriormente possiamo aggiungere quanto segue. Sia
u ∈ L q
loc (Ω) e si definisca il funzionale f ∈ Hom(Lp c(Ω); R) mediante la (4.12). Allora f è continuo
rispetto alla topologia dell’Esempio 4.37 senza altre ipotesi su u , mentre f è continuo anche
rispetto alla topologia che L p (Ω) induce su L p c(Ω) se e solo se u ∈ L q (Ω) .
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Gianni Gilardi