G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

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Capitolo 8 Dimostrazione. Osserviamo che, se u ∈ L q c(Ω) e v ∈ L p (Ω) oppure u ∈ Lq loc (Ω) e v ∈ Lpc(Ω) , loc l’integrale (4.12) ha senso in quanto esso è, di fatto, calcolato su di un certo compatto K (scelto in funzione di u o di v nei due casi in modo che u = 0 o v = 0 in Ω \ K ) e, in ciascuno dei due casi, u|K ∈ Lq (K) e v|K ∈ Lp (K) . Inoltre, sempre nei due casi, il funzionale f così definito è lineare. Verifichiamo che f è anche continuo. Se K è il compatto di cui sopra (dipendente da u o da v rispettivamente) abbiamo infatti |f(v)| ≤ �u� L q (K)�v� L p (K) = �u� L q (K)|v|p,K e |f(v)| ≤ � Ω |u| |v| dx = |v| |u| per ogni v ∈ L p loc (Ω) e per ogni v ∈ Lpc(Ω) rispettivamente. Infine, sempre nei due casi, f = 0 implica che l’integrale di uv sia nullo almeno per ogni v ∈ C∞ c (Ω) , per cui u = 0 q.o. in Ω . Dunque i due operatori dell’enunciato, ovviamente lineari, sono anche iniettivi. Usando l’ipotesi p < +∞ , dimostriamo che essi sono anche suriettivi, ora distinguendo i due casi. Sia f ∈ L p loc (Ω)∗ : dobbiamo costuire u ∈ Lq c(Ω) in modo che la (4.12) valga per ogni v ∈ L p loc (Ω) . La restrizione di f a Lp (Ω) è lineare e continua su Lp (Ω) in quanto Lp (Ω) è immerso in L p loc (Ω) con continuità. Per il Teorema III.3.4 di Riesz esiste dunque u ∈ Lq (Ω) tale che la (4.12) valga per ogni v ∈ Lp (Ω) . Dimostriamo che u ∈ Lq c(Ω) , cioè che u è a supporto compatto. Supponiamo per assurdo che ciò sia falso e introduciamo la successione {Ωm} data dalla (4.1) ( Ωm = Bm(0) se Ω = Rd ). Allora l’insieme ω dei punti x ∈ Ω\Ω1 verificanti u(x) �= 0 ha misura positiva. Siccome ω è l’unione (numerabile) degli insiemi ω ∩ Ωm con m ≥ 2 , almeno uno di questi ha misura positiva: fissiamo tale insieme. Ma questo è l’unione (numerabile) dei suoi sottoinsiemi descritti dalle disuguaglianze |u(x)| ≥ 1/k , uno dei quali, pertanto, ha misura positiva. Abbiamo dunque trovato due interi positivi m1 e k1 tali che l’insieme ω1 = {x ∈ Ωm1 \ Ω1 : |u(x)| ≥ 1/k1} abbia misura positiva. Sia µ1 la sua misura. Siccome stiamo supponendo che u non sia a supporto compatto, ha misura positiva anche l’insieme dei punti x ∈ Ω \ Ωm1 tali che u(x) �= 0 . Procedendo analogamente, costruiamo due interi m2 > m1 e k2 > 0 tali che l’insieme ω2 = {x ∈ Ωm2 \ Ωm1 : |u(x)| ≥ 1/k2} abbia misura positiva. Sia µ2 la sua misura. Si proseguirebbe considerando l’insieme dei punti x ∈ Ω \ Ωm2 tali che u(x) �= 0 . Per induzione, veniamo a costruire una successione {ωn} di sottoinsiemi misurabili di Ω e una successione di interi positivi {km} (nonché una successione {mn} solo ausiliaria) tali che gli insiemi {ωn} sono a due a due disgiunti e hanno chiusura compatta in Ω la misura µn di ωn è positiva e |u| ≥ 1/kn in ωn. A questo punto definiamo z, zn : Ω → R come segue z(x) = ki µi zn(x) = ki µi sign u(x) se x ∈ ωi per i = 1, 2 . . . e z(x) = 0 se x ∈ Ω \ sign u(x) se x ∈ ωi per i = 1, . . . , n e zn(x) = 0 se x ∈ Ω \ con la convenzione sign 0 = 0 . Allora z ∈ L p loc (Ω) , zn ∈ Lp (Ω) e zn → z in L p loc (Ω) . D’altra parte � n� � f(zn) = uzn dx = Ω i=1 ωi uzn dx = n� � i=1 ωi |u| ki dx ≥ µi n� � i=1 ωi ∞� i=1 dx = n per cui la successione {f(zn)} diverge e f non è continuo, contro l’ipotesi. Concludiamo che u ∈ L q c(Ω) . Sia ora v ∈ L p loc (Ω) ad arbitrio. Detta χ n la funzione caratteristica di Ωn , si ha subito vχ n ∈ L p (Ω) e 216 µi ωi n� i=1 ωi Gianni Gilardi
vχn → v in L p loc Spazi localmente convessi (Ω) . Usando la continuità di f su Lp loc (Ω) e il Teorema di Lebesgue della convergenza dominata (|uv| ∈ L1 (Ω) ), deduciamo che Dunque vale la (4.12) per ogni v ∈ L p f(v) = lim n→∞ f(vχ � � n) = lim n→∞ u vχn dx = Ω uv dx. Ω (Ω) . loc Sia ora f ∈ Lp c(Ω) ∗ : dobbiamo costruire u ∈ L q loc (Ω) tale che la (4.12) valga per ogni v ∈ Lpc(Ω) . Introdotta ancora la successione {Ωm} come sopra, consideriamo, per ogni m fissato, il funzionale fm che a ogni v ∈ Lp (Ωm) associa f(�v) , ove �v : Ω → R è la funzione definita da �v = v in Ωm e �v = 0 in Ω\Ωm , funzione che effettivamente appartiene a Lp c(Ω) . Allora fm è lineare. Inoltre, essendo f ∈ Lp c(Ω) ∗ , esistono una costante M e funzioni ψ1, . . . , ψn ∈ L q loc (Ω) tali che per ogni v ∈ Lp (Ωm) si abbia |fm(v)| = |f(�v)| ≤ M n� |�v|ψi = M i=1 n� � i=1 Ω ψi|�v| dx = M n� � i=1 Ωm ψi|v| dx ≤ M n� i=1 �ψi� L q (Ωm)�v� L p (Ωm). Dunque fm ∈ L p (Ωm) ∗ . Per il Teorema III.3.4 di Riesz esiste una e una sola um ∈ L q (Ωm) tale che � fm(v) = Ωm umv dx per ogni v ∈ L p (Ωm) . Osservato che la restrizione di um+1 a Ωm ha le stesse proprietà di um , deduciamo che tale restrizione è um . Dunque esiste u : Ω → R le cui restrizioni agli Ωm coincidono ordinatamente con le um ora costruite. Segue u ∈ L q loc (Ω) . Sia ora v ∈ Lp c(Ω) ad arbitrio. Scelto m tale che v = 0 in Ω \ Ωm , abbiamo Dunque vale la (4.12) per ogni v ∈ L p c(Ω) . f(v) = f( � � � v|Ωm ) = fm(v|Ωm ) = um v|Ωm dx = Ωm uv dx. Ω 4.39. Osservazione. Al contrario di quanto avviene nel caso degli spazi normati, per i quali la topologia di V ∗ indotta dalla norma duale è in qualche modo naturale e quindi privilegiata, se V è solo localmente convesso, vi sono più topologie su V ∗ ugualmente degne di considerazione. Qui introduciamo le topologie nei duali degli spazi L p loc (Ω) e Lp c(Ω) degli Esempi 4.27 e 4.37 che rendono omeomorfismi gli isomorfismi algebrici della Proposizione 4.38. Resta inteso che gli spazi L q loc (Ω) e Lqc(Ω) sono muniti delle topologie degli stessi esempi con q al posto di p . Sia L : L q c(Ω) → L p loc (Ω)∗ il primo dei due isomorfismi della proposizione citata e mostriamo che L e L−1 sono operatori continui se il duale L p loc (Ω)∗ di L p loc (Ω) è munito della topologia generata dalla famiglia di seminorme definita come segue |f|∗,ϕ = |〈f, ϕ〉| per f ∈ L p loc (Ω)∗ , al variare di ϕ in L p loc (Ω) . Si tratta dunque di una topologia di tipo debole*. Per la Proposizione 1.10, condizioni sufficienti per la continuità di L e di L −1 sono rispettivamente le seguenti: per ogni ϕ ∈ L p loc (Ω) esiste ψ ∈ Lp loc (Ω) tale che |Lu|∗,ϕ ≤ |u|ψ per ogni u ∈ L q c(Ω) per ogni ψ ∈ L p loc (Ω) esiste ϕ ∈ Lp loc (Ω) tale che |L−1 f|ψ ≤ |f|∗,ϕ per ogni f ∈ L p c(Ω) ∗ . Dimostriamo che queste sono soddisfatte. Data ϕ ∈ L p loc (Ω) , si ha |ϕ| ∈ Lp u ∈ L q c(Ω) �� |Lu|∗,ϕ = |〈Lu, ϕ〉| = � uϕ dx� ≤ |u| |ϕ| dx = |u| |ϕ| Analisi Funzionale Ω Ω loc (Ω) e per ogni 217
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Gianni Gilardi Analisi Funzionale (
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11 Funzioni convesse . . . . . . .
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Capitolo 1 Norme e prodotti scalari
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Norme e prodotti scalari 3.8. Propo
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Norme e prodotti scalari Presentiam
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Norme e prodotti scalari 3.22. Esem
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Norme e prodotti scalari 4.12. Coro
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Norme e prodotti scalari Dimostrazi
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n=1 Norme e prodotti scalari 5.30.
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Norme e prodotti scalari Supponiamo
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Norme e prodotti scalari 5.45. Aper
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Norme e prodotti scalari Dimostrazi
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Norme e prodotti scalari da p (dipe
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5.60. Osservazione. Lo spazio W p N
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asta scegliere M = � Norme e prod
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6. Alcune costruzioni canoniche Nor
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Norme e prodotti scalari del prodot
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Capitolo 2 Vedremo più tardi che l
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Capitolo 2 associa la N -upla delle
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Capitolo 2 3. Completamenti di spaz
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Capitolo 2 tale affermazione svilup
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Capitolo 2 in W k,p (Ω) . In part
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Capitolo 2 che controllare la densi
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Capitolo 3 Operatori e funzionali R
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Operatori e funzionali 1.11. Defini
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Operatori e funzionali Ma Ω + (x0
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2. Lo spazio duale Operatori e funz
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Operatori e funzionali Si noti che,
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Operatori e funzionali Dunque la fu
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Dividendo per �(v, w)� otteniam
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Capitolo 4 di estremo inferiore esi
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Capitolo 4 e denotiamo con T l’in
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Capitolo 4 Dunque, in ipotesi di un
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Capitolo 4 ove α0 = (ℓ p +1) −
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Capitolo 4 2.20. Proposizione. Sian
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Capitolo 4 3.4. Teorema. Sia V uno
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Capitolo 4 Per meglio chiarire la d
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Capitolo 4 3.17. Esercizio. Si pong
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Capitolo 4 4.1. Definizione. Sia V
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Capitolo 4 5.3. Osservazione. Senza
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Capitolo 4 formula aε(u, v) = (u,
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Capitolo 4 Ma ciò significa che (1
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Capitolo 5 Dimostrazione. Consideri
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Capitolo 5 2.2. Applicazione. Se
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Capitolo 5 Applicando il Corollario
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Capitolo 5 come l’identità. Ciò
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Capitolo 5 4.6. Definizione. Sia V
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Capitolo 5 Segnaliamo che, in situa
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Capitolo 5 Per comodità diciamo ch
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Capitolo 5 5.12. Teorema. Sia V uno
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Capitolo 5 6.9. Osservazione. Il ca
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Capitolo 5 estrarre una sottosucces
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Capitolo 5 8.2. Osservazione. Natur
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Capitolo 5 Dunque z ∈ A . Siccome
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Capitolo 5 Se poi B(x0) = {Bn : n =
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Capitolo 5 chiuso epi f , troviamo
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Capitolo 5 Dimostrazione. L’epigr
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Capitolo 5 dato che 1/(p − 1) = q
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Capitolo 5 12. Il sottodifferenzial
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Capitolo 5 12.12. Definizione. Sian
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Capitolo 5 12.19. Esempio. Sia V un
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Capitolo 5 Fissiamo ora y ∈ D(ϕ)
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Capitolo 5 Osserviamo che, pur di e
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Capitolo 6 Spazi riflessivi Nel cap
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Spazi riflessivi norma | · |pk (di
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2.3. Teorema. Se V è riflessivo, o
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Capitolo 7 I teoremi fondamentali d
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Inoltre w è di classe C 1 e per og
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I teoremi fondamentali di Banach Il
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Page 252: Appendice Precisamente la prima val
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