G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
Dimostrazione. Osserviamo che, se u ∈ L q c(Ω) e v ∈ L p
(Ω) oppure u ∈ Lq
loc (Ω) e v ∈ Lpc(Ω) ,
loc
l’integrale (4.12) ha senso in quanto esso è, di fatto, calcolato su di un certo compatto K (scelto in funzione
di u o di v nei due casi in modo che u = 0 o v = 0 in Ω \ K ) e, in ciascuno dei due casi, u|K ∈ Lq (K)
e v|K ∈ Lp (K) . Inoltre, sempre nei due casi, il funzionale f così definito è lineare. Verifichiamo che f è
anche continuo. Se K è il compatto di cui sopra (dipendente da u o da v rispettivamente) abbiamo infatti
|f(v)| ≤ �u� L q (K)�v� L p (K) = �u� L q (K)|v|p,K e |f(v)| ≤
�
Ω
|u| |v| dx = |v| |u|
per ogni v ∈ L p
loc (Ω) e per ogni v ∈ Lpc(Ω) rispettivamente. Infine, sempre nei due casi, f = 0 implica che
l’integrale di uv sia nullo almeno per ogni v ∈ C∞ c (Ω) , per cui u = 0 q.o. in Ω . Dunque i due operatori
dell’enunciato, ovviamente lineari, sono anche iniettivi. Usando l’ipotesi p < +∞ , dimostriamo che essi
sono anche suriettivi, ora distinguendo i due casi.
Sia f ∈ L p
loc (Ω)∗ : dobbiamo costuire u ∈ Lq c(Ω) in modo che la (4.12) valga per ogni v ∈ L p
loc (Ω) .
La restrizione di f a Lp (Ω) è lineare e continua su Lp (Ω) in quanto Lp (Ω) è immerso in L p
loc (Ω) con
continuità. Per il Teorema III.3.4 di Riesz esiste dunque u ∈ Lq (Ω) tale che la (4.12) valga per ogni
v ∈ Lp (Ω) . Dimostriamo che u ∈ Lq c(Ω) , cioè che u è a supporto compatto. Supponiamo per assurdo
che ciò sia falso e introduciamo la successione {Ωm} data dalla (4.1) ( Ωm = Bm(0) se Ω = Rd ). Allora
l’insieme ω dei punti x ∈ Ω\Ω1 verificanti u(x) �= 0 ha misura positiva. Siccome ω è l’unione (numerabile)
degli insiemi ω ∩ Ωm con m ≥ 2 , almeno uno di questi ha misura positiva: fissiamo tale insieme. Ma questo
è l’unione (numerabile) dei suoi sottoinsiemi descritti dalle disuguaglianze |u(x)| ≥ 1/k , uno dei quali,
pertanto, ha misura positiva. Abbiamo dunque trovato due interi positivi m1 e k1 tali che l’insieme
ω1 = {x ∈ Ωm1 \ Ω1 : |u(x)| ≥ 1/k1}
abbia misura positiva. Sia µ1 la sua misura. Siccome stiamo supponendo che u non sia a supporto compatto,
ha misura positiva anche l’insieme dei punti x ∈ Ω \ Ωm1 tali che u(x) �= 0 . Procedendo analogamente,
costruiamo due interi m2 > m1 e k2 > 0 tali che l’insieme
ω2 = {x ∈ Ωm2 \ Ωm1 : |u(x)| ≥ 1/k2}
abbia misura positiva. Sia µ2 la sua misura. Si proseguirebbe considerando l’insieme dei punti x ∈ Ω \ Ωm2
tali che u(x) �= 0 . Per induzione, veniamo a costruire una successione {ωn} di sottoinsiemi misurabili di
Ω e una successione di interi positivi {km} (nonché una successione {mn} solo ausiliaria) tali che
gli insiemi {ωn} sono a due a due disgiunti e hanno chiusura compatta in Ω
la misura µn di ωn è positiva e |u| ≥ 1/kn in ωn.
A questo punto definiamo z, zn : Ω → R come segue
z(x) = ki
µi
zn(x) = ki
µi
sign u(x) se x ∈ ωi per i = 1, 2 . . . e z(x) = 0 se x ∈ Ω \
sign u(x) se x ∈ ωi per i = 1, . . . , n e zn(x) = 0 se x ∈ Ω \
con la convenzione sign 0 = 0 . Allora z ∈ L p
loc (Ω) , zn ∈ Lp (Ω) e zn → z in L p
loc (Ω) . D’altra parte
�
n�
�
f(zn) = uzn dx =
Ω
i=1
ωi
uzn dx =
n�
�
i=1
ωi
|u| ki
dx ≥
µi
n�
�
i=1
ωi
∞�
i=1
dx
= n
per cui la successione {f(zn)} diverge e f non è continuo, contro l’ipotesi. Concludiamo che u ∈ L q c(Ω) .
Sia ora v ∈ L p
loc (Ω) ad arbitrio. Detta χ n la funzione caratteristica di Ωn , si ha subito vχ n ∈ L p (Ω) e
216
µi
ωi
n�
i=1
ωi
Gianni Gilardi