G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
Dimostrazione. Supponiamo dapprima µ(Ω) < +∞ e introduciamo in M la relazione ∼ , che si verifica
immediatamente essere di equivalenza, ponendo: A ∼ B quando µ(A \ B) = µ(B \ A) = 0 . Considerato il
quoziente M/ ∼ , si verificano tre casi i) esso ha un solo elemento; ii) esso è finito con più di un elemento;
iii) esso è infinito. Dimostriamo che ciascuno di tali casi corrisponde a quelli dell’enunciato e che il caso iii)
dell’enunciato si presenta anche quando µ(Ω) = +∞ . i) Risulta ω ∼ ∅ per ogni ω ∈ M , per cui l’unica
funzione misurabile (intesa come classe di funzioni) è la funzione nulla e la tesi segue immediatamente. ii) e
iii) Se Ω ha misura positiva ed è un atomo, lo spazio delle funzioni misurabili è costituito dalle funzioni che
sono (q.o. uguali a funzioni) costanti. Tale spazio, che ha dimensione 1 , viene automaticamente a coincidere
con ogni Lp (Ω) . Vale dunque con m = 1 quanto affermato in ii) . Per trattare i casi restanti eseguiamo un
procedimento di “bisezione”. Supponiamo che Ω abbia misura positiva e non sia un atomo. Allora esiste una
partizione {Ω1, Ω2} in due insiemi misurabili di misura positiva. Se ciascuno di questi è un atomo arrestiamo
la procedura. In caso contrario suddividiamo i sottoinsiemi non atomici (dunque Ω1 o Ω2 o entrambi a
seconda della situazione che si presenta) in due sottoinsiemi di misura positiva. Per induzione, eseguito il
passo n -esimo, se tutti gli insiemi trovati sono atomi ci fermiamo; in caso contrario suddividiamo in due
insiemi di misura positiva ciascuno degli insiemi non atomici del passo n -esimo. Si danno due casi: a) dopo
un numero finito di passi otteniamo solo atomi; b) ogni passo produce almeno un sottoinsieme non atomico.
Caso a) : arriviamo a una partizione {ωi : i = 1, . . . , m} di Ω in un numero m ≥ 2 di atomi. Allora
ogni funzione misurabile è semplice, precisamente essa è (q.o. uguale a una funzione) costante su ciascuno
degli ωi . In particolare, qualunque sia p ∈ [1, +∞] , ogni elemento di Lp (Ω) è di quel tipo. Pertanto tutti
gli spazi Lp (Ω) coincidono con lo spazio di tali funzioni, il quale è generato dalle funzioni caratteristiche
degli ωi e, dunque, ha dimensione m . Ciò conclude la trattazione del caso ii) dell’enunciato. Nel caso b) ,
dalla famiglia degli insiemi misurabili ottenuta con le infinite bisezioni si può estrarre una successione {Ωn}
di insiemi tale che Ωn+1 ⊂ Ωn e µ(Ωn+1) < µ(Ωn) per ogni n . Con un procedimento abituale si costruisce
allora una successione {ωn} di insiemi misurabili, di misura positiva e mutuamente disgiunti. Dato che
lo spazio di misura è σ -finito, una successione {ωn} di insiemi di misura finita con le stesse proprietà si
ottiene nel caso µ(Ω) = +∞ . A partire da tale successione {ωn} , mostriamo che valgono le proprietà del
caso iii) dell’enunciato. Chiaramente le funzioni caratteristiche degli ωn appartengono a Lp (Ω) per ogni
p ∈ [1, +∞] e sono linearmente indipendenti. Dunque tutti gli spazi Lp (Ω) hanno dimensione infinita.
Mostriamo che essi sono diversi l’uno dall’altro. Poniamo per comodità µn = µ(ωn) e ℓ = lim infn→∞ µn .
Consideriamo due casi a) e b) . a) Supponiamo ℓ > 0 (eventualmente infinito). Allora esiste δ > 0 tale
che µn ≥ δ per ogni n . In particolare deduciamo che µ(Ω) ≥ �∞ n=1 µn = +∞ per cui la funzione costante
1 appartiene a L∞ (Ω) ma non a Lp (Ω) se p < +∞ , così che L∞ (Ω) �= Lp (Ω) per ogni p < +∞ . Siano
ora p, q ∈ [1, +∞) tali che p < q . Definiamo v : Ω → R ponendo v(x) = (nµn ln 2 n) −1/q se x ∈ ωn , ciò
per n = 1, 2, . . . , e v(x) = 0 se x non appartiene ad alcuno degli ωn . Allora
�
Ω
|v| q dx =
∞�
�
n=1
ωn
|v| q dx =
∞�
n=1
D’altra parte, essendo p/q < 1 , da cui anche µ 1−p/q
n
�
|v|
Ω
p ∞�
�
dx = |v|
ωn n=1
p ∞� �
1
dx =
n ln n=1
2 �p/q µ
n
1−p/q
n
Ω
1
n ln 2 n < +∞ da cui v ∈ Lq (Ω).
≥ δ1−p/q , abbiamo
≥ δ 1−p/q
∞� �
1
n ln 2 �p/q = +∞
n
da cui v �∈ L p (Ω).
b) Supponiamo ora ℓ = 0 . Allora, procedendo ricorsivamente, si costruisce facilmente una sottosuccessione
{µnk } tale che µnk ≤ 2−k per ogni k . Supponiamo dapprima 1 ≤ p < q < +∞ . Allora p = r − ε e
q = r + ε per certi r ∈ (1, +∞) e ε > 0 . Definiamo v : Ω → R ponendo v(x) = µ −1/r
nk se x ∈ ωnk , ciò
per k = 1, 2, . . . , e v(x) = 0 se x non appartiene ad alcuno degli ωnk . Allora
�
|v| p ∞�
�
dx = |v| p ∞�
dx = µ −p/r+1
∞�
nk = µ ε/r
nk ≤
∞�
2 −kε/r < +∞ da cui v ∈ L p (Ω).
Ω
k=1
ωn k
k=1
ωn k
k=1
D’altra parte, essendo {µnk } infinitesima, abbiamo
�
|v| q ∞�
�
dx = |v| q ∞�
dx = µ −q/r+1
∞�
nk = µ −ε/r
nk = +∞ da cui v �∈ Lq (Ω).
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k=1
k=1
k=1
n=1
k=1
Gianni Gilardi