G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 8
Gli esempi successivi riguardano situazioni analoghe, ma un po’ più complesse, che si ottengono
prendendo spazi di funzioni definite in un aperto Ω ⊆ R d e a supporto compatto. Ci limitiamo al
caso di spazi di funzioni continue oppure di tipo L p , tutti reali.
4.36. Esempio. Sia V = C 0 c (Ω) lo spazio delle funzioni v ∈ C 0 (Ω) a supporto compatto. Per
ogni ψ ∈ C 0 (Ω) non negativa consideriamo la seminorma (ben definita) su V definita dalla formula
|v|ψ = sup ψ|v| per v ∈ V
Ω
e introduciamo la famiglia F ottenuta prendendo tutte le seminorme | · |ψ al variare di ψ fra
le funzioni continue non negative. Otteniamo uno spazio localmente convesso e ora dimostriamo
che esso non è metrizzabile verificando, anche in questo caso, che non vale la condizione iii) del
Teorema 2.15. Controlliamo che ogni famiglia F ′ al più numerabile di seminorme estratta da F
induce una nozione di convergenza diversa da quella indotta dall’intera famiglia F . Possiamo
supporre F ′ = {| · |ψn : n = 1, 2, . . .} per certe ψn ∈ C 0 (Ω) non negative. Posto
ϕn(x) = max{1, ψ1(x), . . . , ψn(x)} per x ∈ Ω e n = 1, 2, . . . (4.11)
otteniamo funzioni continue ≥ 1 . Fissiamo una successione {Bn} di palle chiuse fra loro disgiunte,
incluse in Ω e tali che ogni compatto di Ω ne intersechi solo un numero finito. Diamo un cenno
su una possibile costruzione di una tale successione nel caso Ω �= R d (altrimenti la costruzione è
banale). Fissata una successione {xn} di punti distinti di Ω convergente a un punto x0 ∈ ∂Ω ,
prendiamo Bn = Brn(xn) ove la successione infinitesima {rn} dei raggi è costruita, ad esempio,
per ricorrenza come segue. Posto δ1 = |x1 − x0| , avremo |xn − x0| < δ1/2 per n abbastanza
grande, dunque |xn − x1| < δ1/2 solo per un numero finito di indici, per cui esiste r1 ∈ (0, 1) tale
che B1 = Br1 (x1) ⊂ Ω e xn �∈ B1 per ogni n > 1 . Per costruire r2 ∈ (0, 1/2) si ragiona allo
stesso modo sugli indici n > 1 e sull’aperto Ω \ B1 : la corrispondente palla chiusa B2 , in quanto
inclusa in Ω \ B1 , è disgiunta da B1 . Analogamente si continua considerando gli indici n > 2 e
l’aperto Ω \ (B1 ∪ B2) , eccetera. Sia ora K ⊂ Ω un compatto. Siccome xn tende a x0 ∈ ∂Ω ,
rn tende a 0 e K ha distanza positiva da ∂Ω , è chiaro che K interseca solo un numero finito di
palle Bn . Proseguiamo. Fissata una funzione ζ ∈ C 0 (R d ) verificante 0 < ζ(x) ≤ ζ(0) = 1 per
|x| < 1 e ζ(x) = 0 per |x| ≥ 1 , costruiamo le funzioni ζn, vn : Ω → R ponendo per x ∈ Ω
�
x −
�
xn
ζn(x) = ζ
rn
e vn(x) = ζn(x)
nMn
ove Mn = sup ϕn .
Bn
Allora vn ∈ V e ora verifichiamo che {vn} è infinitesima nella topologia indotta da F ′ ma non in
quella indotta da F . Per ogni m, n verificanti m ≤ n si ha ψm ≤ ϕn . Per ogni m fissato e per
ogni n ≥ m abbiamo allora
|vn|ψm
= sup
Bn
ψm
ζn
nMn
≤ sup ϕn
nMn
≤ 1/n
e la convergenza di |vn|ψm a 0 per n → ∞ segue. Ricordando che le palle chiuse Bk sono a due
a due disgiunte, definiamo ψ : Ω → R ponendo
ψ(x) = kMkζk(x) se x ∈ Bk , k = 1, 2, . . . e ψ(x) = 0 se x ∈ Ω \
Allora ψ ∈ C 0 (Ω) e ψ ≥ 0 , per cui | · |ψ ∈ F , e per ogni n
|vn|ψ = sup
Ω
ψ|vn| = sup
Bn
ψ|vn| = sup nMnζn
Bn
Dunque {vn} non è infinitesima nella topologia indotta da F .
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ζn
nMn
= ζ 2 n(xn) = 1.
∞�
k=1
Bk .
Gianni Gilardi